%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Recherche d'Extremum|Accueil · Recherche d'Extremum]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Cours 2 - Recherche d'Extremum\|Cours 2 - Recherche d'Extremum →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # ▷ Cours 1 : les dérivées partielles > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Recherche d'Extremum|Recherche d'Extremum]] > [!example] Contenu du cours : > Dans ce cours, nous abordons les notions suivantes : >- Les fonctions partielles >- Les dérivées partielles d'ordre 1 >- Les dérivées partielles d'ordre 2 pures et croisées >- Théorème de Schwartz ## 1. Les fonctions partielles ### Définition >[!theorem] Définition Soit $f(x, y)$ une fonction définie sur un domaine $D \subset \mathbb{R}^2$ et $M_0(x_0, y_0) \in D$. Les **fonctions partielles** associées à $f$ au point $M_0$ sont des fonctions d'une seule variable réelle définies par : >* **1ère fonction partielle :** $f_1(y) = f(x_0, y)$ (on fixe la 1ère variable $x$) >* **2ème fonction partielle :** $f_2(x) = f(x, y_0)$ (on fixe la 2ème variable $y$) > [!note] Propriété de continuité > Si $f(x, y)$ est continue en $M_0(x_0, y_0)$, alors : > * $f_1$ est continue en $y_0$. > * $f_2$ est continue en $x_0$. >[!example] Exemples >1. $f(x, y) = (x + y)e^x$ >* **Domaine :** $D_f = \mathbb{R}^2$ (produit de fonctions polynôme et exponentielle). >* **Au point $A(0, 2)$ :** > * $f_1(y) = f(0, y) = (0 + y)e^0 = y$ $\rightarrow$ Continue en $y=2$. > * $f_2(x) = f(x, 2) = (x + 2)e^x$ $\rightarrow$ Continue en $x=0$. >2. $f(x, y) = 3x^2 - y + \ln(2y - 1)$ >* **Domaine :** $D_f = \mathbb{R} \times ]\frac{1}{2}, +\infty[$ car il faut que $2y-1>0$. >* **Au point $A(-1, 5)$ :** > * $f_1(y) = f(-1, y) = 3(-1)^2 - y + \ln(2y-1) = 3 - y + \ln(2y-1)$ $\rightarrow$ Continue en $y=5$. > * $f_2(x) = f(x, 5) = 3x^2 - 5 + \ln(9) = 3x^2 - 5 + 3\ln(3)$ $\rightarrow$ Continue en $x=-1$. ### Représentation Graphique L'intersection de la surface $z = f(x, y)$ avec des plans donne des courbes appelées coupes : * **Intersection avec le plan $x = a$ :** On obtient la courbe $C_{f_1}$ * **Intersection avec le plan $y = b$ :** On obtient la courbe $C_{f_2}$ >[!example] Exemple >Soit $f(x,y)=x^2+y^2$. >- **Courbe $C_{f_1}$ :** On cherche l'intersection de $z=f$ avec $x=a$ > $\begin{cases} z=x^2+y^2\\ x=a \end{cases}$ Ce qui représente une parabole $z=a^2+y^2$ dans le plan $x=a$. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/ressources/courbe Cf1.png||400]] >- **Courbe $C_{f_2}$ :** On cherche l'intersection de $z=f$ avec $y=b$ > $\begin{cases} z=x^2+y^2\\ y=b \end{cases}$ Ce qui représente une parabole $z=x^2+b^2$ dans le plan $y=b$. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/ressources/courbe CF2.png||400]] ## 2. Les dérivées partielles ### Les dérivées partielles premières >[!note] Définition On dit que $f$ est dérivable en $(x, y)$ si les limites suivantes existent : $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} \quad \text{et} \quad \lim_{k \to 0} \frac{f(x, y+k) - f(x, y)}{k}$ Dans ce cas, on note les fonctions dérivées partielles ainsi : >* **Par rapport à $x$ :** $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ >* **Par rapport à $y$ :** $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) =\lim_{k \to 0} \frac{f(x, y+k) - f(x, y)}{k}$ >[!example] Exemple : Soit $f(x,y)=x+y$. > - $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) =\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h+y)-(x+y)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{h}{h}=1$ > - $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) =\lim_{k \to 0} \frac{f(x, y+k) - f(x, y)}{k}=\lim_{k \to 0}\frac{(x+y+k)-(x+y)}{k}=\lim_{k \to 0}\frac{k}{k}=1$ >[!note] En pratique En pratique, les dérivées partielles sont rarement calculées à partir de leur définition par une limite. On utilise plutôt les règles habituelles de dérivation en considérant l'une des variables comme une constante. >- Pour calculer la dérivée partielle par rapport à $x$ : $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=f_2'(x)$on considère alors $y$ comme une constante. >- Pour calculer la dérivée partielle par rapport à $x$ : $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=f_2'(x)$on considère alors $x$ comme une constante. >[!example] Exemples : >1. $f(x,y)=3x^2+y^3+2y-5+3x$ > - **Dérivée par rapport à $x$ :** On considère $y$ comme une constante $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 6x+3$ > - **Dérivée par rapport à $y$ :** On considère $x$ comme une constante$\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = 3y^2+2$ >2. $f(x, y) = (x+y) e^x$ > On utilise la formule $(uv)' = u'v + uv'$ > - **Dérivée par rapport à $x$ :** On considère $y$ comme une constante $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 1\times e^x+ (x+y)e^x=(1+x+y)e^x$ > - **Dérivée par rapport à $y$ :** On considère $x$ comme une constante$\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = 1\times e^x+(x+y)\times 0=e^x$ >3. $f(x, y) = x^2 \ln(x + y)$ > On utilise la formule $(uv)' = u'v + uv'$ > - **Dérivée par rapport à $x$ :** On considère $y$ comme une constante $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2x\ln(x + y) + \frac{x^2}{x + y}$ > - **Dérivée par rapport à $y$ :** On considère $x$ comme une constante$\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = 0\times \ln(x+y)+\frac{x^2}{x + y}=\frac{x^2}{x + y}$ ### Les dérivées partielles secondes >[!note] Définition >Soit $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction admettant des dérivées partielles d'ordre 2. On distingue quatre dérivées secondes : >* **Pure en $x$ :** $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)$ >* **Pure en $y$ :** $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)$ >* **Croisée (dérivant d'abord par rapport à y puis par rapport à x) :** $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)$ >* **Croisée (dérivant d'abord par rapport à x puis par rapport à y) :** $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)$ >[!example] Exemple de calcul de dérivées secondes Soit $f(x, y) = x^2 y - 9y - 2$ >1. **Dérivées d'ordre 1 :** >* $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ >* $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 - 9$ >2. **Dérivées d'ordre 2 :** >* $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y$ >* $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 - 9) = 0$ >* $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - 9) = 2x$ >* $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x$ > [!tip] Théorème de Schwartz > Si les dérivées partielles d'ordre 1 existent et que les dérivées secondes sont continues, alors les dérivées croisées sont égales : > $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$Ce qui signifie que l'ordre de dérivation n'a pas d'influence sur le résultat. Nous pouvons vérifier le théorème de Schwartz sur le même exemple précédent où $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=2x$ # Le cours résumé en 10 minutes <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/8cWhWryNI6I?si=YvGwSHyGlrIGNKzo" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe> # ➡️ C'est la fin - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Cours 2 - Recherche d'Extremum|Cours 2 - Recherche d'Extremum]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Recherche d'Extremum|Recherche d'Extremum]] - Page d'accueil du domaine: [[Analyse et Données/Mathématiques/Mathématiques|Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] - Dernière MAJ: `22-juillet-2026` %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Recherche d'Extremum|Accueil · Recherche d'Extremum]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Cours 2 - Recherche d'Extremum\|Cours 2 - Recherche d'Extremum →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%