%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Recherche d'Extremum|Accueil · Recherche d'Extremum]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Cours 1 - Recherche d'Extremum\|← Cours 1 - Recherche d'Extremum]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %% # ▷ Cours 2 : Le critère d'optimisation > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Recherche d'Extremum|Recherche d'Extremum]] >[!example] Contenu du cours : Dans ce cours, nous abordons les notions suivantes : > - Courbes de niveau > - Vecteur gradient > - Matrice Hessienne > - Points critiques > - Extremums et point selle ## I. Les Lignes de Niveau ### Définition Pour une fonction de deux variables $f(x, y)$, on appelle **lignes de niveau** les courbes correspondant aux intersections de la surface graphique de $f$ avec des plans horizontaux d'équation $z = k$ (où $k$ est une constante). L'équation d'une ligne de niveau est : $\{ (x, y) \in D_f \mid f(x, y) = k \}$ ### Représentation graphique La figure suivante représente la fonction $f(x,y)=x^2+y^2$ ainsi que les lignes de niveau $z=1$, $z=2$ et $z=k$. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/ressources/lignes de niveau.png||700]] > [!INFO] **Analogie Cartographique** > C'est le processus utilisé en cartographie pour les **courbes de niveau** (altitudes). Plus les lignes sont serrées, plus la pente est forte. ## II. Le Vecteur Gradient ### Définition >[!note] Vecteur gradient Pour toute fonction $f(x, y)$ dont les dérivées partielles d’ordre 1 existent, on appelle **vecteur gradient** de $f$ au point $M(x, y)$ le vecteur : $\vec{\text{grad}} f(M) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \end{pmatrix}$ >[!example] Exemple >Soit $f(x,y)=2xy-y^2+x^3y^3+5x+3$. >Les dérivées partielles d'ordre 1 sont : >$\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=2y+3x^2y^3+5$ >$\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=2x-2y+3x^3y^2$ Le vecteur gradient de $f$ est donné alors par : $\vec{\text{grad}} f(M) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2y+3x^2y^3+5\\ 2x-2y+3x^3y^2\end{pmatrix}$ ### Propriétés Géométriques * **Orthogonalité :** Le vecteur gradient $\vec{\text{grad}} f(M)$ est **orthogonal** à la ligne de niveau $f(x, y) = k$ passant par $M$. * **Direction :** Il est dirigé vers les valeurs croissantes de $f$. * **Pente maximale :** Le gradient indique la direction de la **plus forte pente** en un point donné. >[!example] Exemple >Soit $f(x,y)=x^2+y^2$. >Le vecteur gradient est donné par : >$\vec{\text{grad}} f(M) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x\\2y \end{pmatrix}$ ![[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/ressources/vecteur gradient.png]] ## III. Points Critiques >[!note] Définition On appelle **point critique** de $f$ tout point $M_0(x_0, y_0)$ où le vecteur gradient s'annule : $\vec{\text{grad}} f(x_0, y_0) = \vec{0} \iff \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0 \end{cases}$ >[!example] Exemple Soit $f(x,y)=x^2+2xy$. Le vecteur gradient est $\vec{\text{grad}} f(M) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x+2y\\2x\end{pmatrix}$ Soit $(x_0,y_0)$ un point critique de $f$. Alors , $\vec{\text{grad}} f(x_0, y_0) = \vec{0} \iff \begin{cases} 2x_0+2y_0 = 0 \\ 2x_0 = 0 \end{cases}\iff \begin{cases}x_0=0\\ y_0=0\end{cases}$ On a alors un seul point critique $(x_0,y_0)=(0,0)$. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/ressources/exemple de points critiques.png||400]] ## V. Nature des points critiques Il existe trois types de comportements en un point critique : 1. **Maximum local :** La surface forme un "sommet". ![[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/ressources/point maximum sketch.png||250]] 2. **Minimum local :** La surface forme un "creux". ![[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/ressources/point minimum sketch.png||250]] 3. **Point Selle (ou point col) :** La surface ressemble à une selle de cheval. Dans une direction, c'est un maximum, dans l'autre, c'est un minimum. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/ressources/point selle sketch.png||250]] >[!note] Définition : La Matrice Hessienne En optimisation, on regroupe les dérivées secondes dans une matrice : $H_f(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}$ Cette matrice est nommée la matrice Hessienne. >[!warning] Remarque : >Si le théorème se Schwartz est applicable sur une fonction $f$ donnée, alors la matrice Hessienne est symétrique ce qui signifie que $H_f^T=H_f$. Pour déterminer la nature d'un point critique $M_0(x_0, y_0)$, on calcule le déterminant de la matrice Hessienne, noté $D$ (ou parfois $\Delta$) : $D = \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right) - \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right)^2$ > [!NOTE] Notation de Monge > On utilise souvent : $r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $s = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$, $t = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$. Alors $D = rt - s^2$. **Interprétation du signe de $D$ :** | Valeur de $D$ | Signe de $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ | Nature du point critique | | :------------ | :------------------------------------------- | :---------------------------------------------- | | **$D > 0$** | $r > 0$ | **Minimum local** | | **$D > 0$** | $r < 0$ | **Maximum local** | | **$D < 0$** | (Peu importe) | **Point Selle** | | **$D = 0$** | | **Inconcluant** (nécessite une étude d'ordre 3) | > [!example] Exemples > Exemple 1 : $f(x, y) = x^2 + 2xy$ > **Gradient :** $\vec{\text{grad}} f = \begin{pmatrix} 2x + 2y \\ 2x \end{pmatrix}$ > **Point Critique :** $\begin{cases} 2x + 2y = 0 \\ 2x = 0 \end{cases} \implies x=0, y=0$. Le point est $O(0,0)$. **Dérivées secondes :** $r = 2$, $t = 0$, $s = 2$. **Nature :** $D = (2 \times 0) - (2)^2 = -4$. Puisque $D < 0$, **$O(0,0)$ est un point selle**. > >Exemple 2 : $f(x, y) = 1 - x^2 - y^2$ **Gradient :** $\vec{\text{grad}} f = \begin{pmatrix} -2x \\ -2y \end{pmatrix}$ **Point Critique :** $O(0,0)$. **Dérivées secondes :** $r = -2$, $t = -2$, $s = 0$. **Nature :** $D = (-2 \times -2) - 0^2 = 4$. $D > 0$ et $r < 0 \implies$ **$O(0,0)$ est un maximum**. > >Exemple 3 : $f(x, y) = \frac{8}{x} + \frac{x}{y} + y$ >**Gradient :** >$\vec{\text{grad}} f = \begin{pmatrix} -\frac{8}{x^2} + \frac{1}{y}\\ -\frac{x}{y^2} + 1 \end{pmatrix}$ **Point Critique :** On teste le point $A(4, 2)$. $\frac{\partial f}{\partial x}(4,2) = -\frac{8}{16} + \frac{1}{2} = 0$ $\frac{\partial f}{\partial y}(4,2) = -\frac{4}{4} + 1 = 0$. Alors, $A(4,2)$ est bien critique. **Dérivées secondes :** $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{16}{x^3} \implies r(4,2) = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{2x}{y^3} \implies t(4,2) = \frac{8}{8} = 1$ $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -\frac{1}{y^2} \implies s(4,2) = -\frac{1}{4}$ **Nature :** $D = (\frac{1}{4} \times 1) - (-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$. $D > 0$ et $r > 0 \implies$ **$A(4,2)$ est un minimum**. >[!warning] Attention : Extremums globaux vs locaux >* Un **extremum local** est le point le plus haut/bas dans un petit voisinage. >* Un **extremum global** est le point le plus haut/bas sur tout le domaine $D_f$. >[!example] Exemple >Sur la figure suivante, on a deux maximums locaux et un maximum global. >Rappelez-vous qu’un maximum **global** est toujours un maximum **local**, mais l’inverse n’est pas vrai. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/ressources/local vs global.png||500]] >[!warning] Remarque : > On a vu dans ce cours comment déterminer les extremums locaux. > Pour trouver les extremums globaux, il faut aussi vérifier le comportement de la fonction aux bords (frontières) du domaine. # ➡️ C'est la fin - Cours précèdent: [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Cours 1 - Recherche d'Extremum|Cours 1 - Recherche d'Extremum]] - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Exercices - Recherche d'Extremum|Exercices - Recherche d'Extremum]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Recherche d'Extremum|Recherche d'Extremum]] - Page d'accueil du domaine: [[Analyse et Données/Mathématiques/Mathématiques|Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] - Dernière MAJ: `22-juillet-2026` %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Recherche d'Extremum|Accueil · Recherche d'Extremum]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Recherche d'Extremum/Cours 1 - Recherche d'Extremum\|← Cours 1 - Recherche d'Extremum]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %%