%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Suites Numériques/Suites Numériques|Accueil · Suites Numériques]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Suites Numériques/Exercices - Suites Numériques\|Exercices - Suites Numériques →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% > Page d'accueil de la compétence: [[Suites Numériques]] >[!example] Contenu de ce cours > - Définir une suite numérique explicitement ou par récurrence. > - Etudier le sens de variation d'une suite. > - Déterminer si une suite donnée est bornée ou non. > - Manipuler les suites géométriques et arithmétiques. ## 1. Définition Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ (ou sur un sous-ensemble $I = \{n \in \mathbb{N} \mid n \ge n_0\}$) à valeurs dans $\mathbb{R}$. $\begin{aligned} u : \mathbb{N} &\to \mathbb{R} \\ n &\mapsto u(n) = u_n \end{aligned}$ - On note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$ la suite. - $u_n$ désigne le terme de rang $n$ (ou terme général). - $n$ est l'indice ou le rang. ## 2. Modes de Génération d'une Suite ### A. Forme explicite : Chaque terme est calculé directement en fonction de la valeur de $n$. > [!example] Exemple 1 : Polynôme > Soit la suite définie par $u_n = 3n^2 - 5n + 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ : > - $u_0 = 3(0)^2 - 5(0) + 2 = 2$ > - $u_1 = 3(1)^2 - 5(1) + 2 = 0$ > - $u_4 = 3(4)^2 - 5(4) + 2 = 48 - 20 + 2 = 30$ > [!example] Exemple 2 : Suite alternée > Soit la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$ : > - $u_1 = \frac{(-1)^1}{1} = -1$ > - $u_2 = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2}$ > - $u_3 = \frac{(-1)^3}{3} = -\frac{1}{3}$ ### B. Forme par récurrence : Chaque terme est défini à partir du terme qui le précède immédiatement (avec un premier terme $u_0$ fixé). > [!example] Exemple 1 : Récurrence simple > Soit la suite définie par $\begin{cases} u_0 = 4 \\ u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3 \end{cases}$ > - $u_1 = \frac{1}{2}u_0 + 3 = \frac{1}{2}(4) + 3 = 5$ > - $u_2 = \frac{1}{2}u_1 + 3 = \frac{1}{2}(5) + 3 = \frac{11}{2} = 5.5$ > - $u_3 = \frac{1}{2}\left(\frac{11}{2}\right) + 3 = \frac{23}{4} = 5.75$ > [!example] Exemple 2 : Récurrence d'ordre 2 (Suite de Fibonacci) > Soit $\begin{cases} F_0 = 0, \quad F_1 = 1 \\ F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \end{cases}$ > - $F_2 = F_1 + F_0 = 1 + 0 = 1$ > - $F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$ > - $F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$ > - $F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$ ## 3. Variations et Monotonie > [!abstract] Définition > Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle : > - $(u_n)$ est **strictement croissante** si $\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} > u_n$. > - $(u_n)$ est **croissante** si $\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} \ge u_n$. > - $(u_n)$ est **strictement décroissante** si $\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} < u_n$. > - $(u_n)$ est **décroissante** si $\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} \le u_n$. > - $(u_n)$ est **constante (ou stationnaire)** si $\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n$. ### Méthodes et Exemples d'étude de variations : > [!tip] Méthode 1 : Signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ (Méthode générale) > **Exemple :** Soit $u_n = n^2 + 3n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. > $\begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= \left[(n+1)^2 + 3(n+1)\right] - (n^2 + 3n) \\ &= (n^2 + 2n + 1 + 3n + 3) - (n^2 + 3n) \\ &= 2n + 4 \end{aligned}$ > Comme $n \ge 0$, on a $2n + 4 > 0$, donc $u_{n+1} - u_n > 0$. > **Conclusion :** La suite $(u_n)$ est strictement croissante. > [!tip] Méthode 2 : Comparaison du quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ avec $1$ (Uniquement pour $u_n > 0$) > **Exemple :** Soit $u_n = \dfrac{2^n}{n!}$ pour $n \ge 1$ (tous les termes sont strictement positifs). > $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \times \frac{n!}{2^n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} \times \frac{n!}{(n+1)n!} = \frac{2}{n+1}$ > Pour tout $n \ge 2$, on a $n + 1 \ge 3$, d'où $\frac{2}{n+1} < 1$. > **Conclusion :** La suite $(u_n)$ est strictement décroissante à partir du rang $n = 2$. > [!tip] Méthode 3 : Étude de la fonction associée $f$ telle que $u_n = f(n)$ > **Exemple :** Soit $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ pour $n \in \mathbb{N}$. > Considérons la fonction $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ sur $[0, +\infty[$. > Sa dérivée est : > $f'(x) = \frac{1(x+1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} > 0$ > $f$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$, donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante. ## 4. Suites Bornées > [!abstract] Définition > - $(u_n)$ est **majorée** s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que : $\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n \le M$. > - $(u_n)$ est **minorée** s'il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que : $\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n \ge m$. > - $(u_n)$ est **bornée** si elle est à la fois majorée et minorée : $\exists M > 0, \; \forall n \in \mathbb{N}, \; |u_n| \le M$. > [!example] Exemple 1 : Suite bornée > Soit $u_n = \cos(n) + \frac{1}{n+1}$ pour $n \in \mathbb{N}$. > Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : > $-1 \le \cos(n) \le 1 \quad \text{et} \quad 0 < \frac{1}{n+1} \le 1$ > En additionnant membre à membre : > $-1 < u_n \le 2$ > $(u_n)$ est minorée par $-1$ et majorée par $2$ : elle est donc **bornée**. > [!example] Exemple 2 : Suite minorée > Soit $u_n = 2^n - 5$. > Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $2^n \ge 1 \implies u_n \ge -4$ : la suite est **minorée** par $-4$. ## 5. Suites particulières ### A. Suites Arithmétiques > [!abstract] Définition > Une suite $(u_n)$ est **arithmétique** de raison $r \in \mathbb{R}$ si : > $u_{n+1} = u_n + r \quad (\forall n \in \mathbb{N})$ #### Formule Explicite (Terme général) - En partant de $u_0$ : $u_n = u_0 + nr$ - En partant de $u_p$ ($p \le n$) : $u_n = u_p + (n-p)r$ > [!example] Exemple de calcul du terme général > Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 11$ et $u_7 = 27$. > $u_7 = u_3 + (7-3)r \iff 27 = 11 + 4r \iff 4r = 16 \iff r = 4$ > On en déduit $u_0$ : > $u_0 = u_3 - 3r = 11 - 3(4) = -1$ > Le terme général est donc : > $u_n = -1 + 4n$ #### Somme des termes consécutifs $S_n = \sum_{k=0}^n u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$ Formule générale : $S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$ > [!example] Exemple 1 : Somme des $n$ premiers entiers > $S = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ > Pour $n = 100$ : > $1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5\,050$ > [!example] Exemple 2 : Somme arithmétique quelconque > Calculer la somme $S = 5 + 8 + 11 + \dots + 302$. > Il s'agit des termes d'une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$. > On cherche le rang $N$ de $302$ : > $u_N = 5 + 3N = 302 \iff 3N = 297 \iff N = 99$ > Il y a $99 - 0 + 1 = 100$ termes : > $S = 100 \times \frac{5 + 302}{2} = 100 \times \frac{307}{2} = 15\,350$ #### Variation des suites arithmétiques Le sens de variation dépend uniquement du signe de la raison $r$ : - Si $r > 0$, la suite $(u_n)$ est **strictement croissante**. - Si $r < 0$, la suite $(u_n)$ est **strictement décroissante**. - Si $r = 0$, la suite $(u_n)$ est **constante** ### B. Suites Géométriques > [!abstract] Définition > Une suite $(u_n)$ est **géométrique** de raison $q \in \mathbb{R}^*$ si : > $u_{n+1} = q \times u_n \quad (\forall n \in \mathbb{N})$ #### Formule Explicite (Terme général) - En partant de $u_0$ : $u_n = u_0 \times q^n$ - En partant de $u_p$ ($p \le n$) : $u_n = u_p \times q^{n-p}$ > [!example] Exemple de calcul du terme général > Soit $(u_n)$ une suite géométrique à termes strictement positifs avec $u_2 = 18$ et $u_5 = 486$. > $u_5 = u_2 \times q^{5-2} \iff 486 = 18 \times q^3 \iff q^3 = \frac{486}{18} = 27 \iff q = 3$ > On trouve le premier terme : > $u_0 = \frac{u_2}{q^2} = \frac{18}{3^2} = 2$ > Le terme général est donc : > $u_n = 2 \times 3^n$ #### Somme des termes consécutifs (pour $q \neq 1$) $S_n = \sum_{k=0}^n u_k = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ Formule générale : $S = (\text{premier terme}) \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ > [!example] Exemple 1 : Somme des puissances d'un nombre > $S = 1 + q + q^2 + \dots + q^n = \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ > Pour $q = 2$ et $n = 10$ : > $1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \frac{1 - 2\,048}{-1} = 2\,047$ > [!example] Exemple 2 : Somme géométrique quelconque > Calculer la somme $S = 3 + 6 + 12 + 24 + \dots + 3\,072$. > C'est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = 2$. > On détermine le rang $N$ du terme $3\,072$ : > $u_N = 3 \times 2^N = 3\,072 \iff 2^N = 1\,024 = 2^{10} \iff N = 10$ > Il y a $10 - 0 + 1 = 11$ termes : > $S = 3 \times \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 3 \times 2\,047 = 6\,141$ #### Variation des suites géométriques - **Cas où $u_0 > 0$ :** - Si $q > 1$, la suite $(u_n)$ est **strictement croissante**. - Si $0 < q < 1$, la suite $(u_n)$ est **strictement décroissante**. - Si $q = 1$, la suite $(u_n)$ est **constante**. - **Cas où $u_0 < 0$ :** - Si $q > 1$, la suite $(u_n)$ est **strictement décroissante**. - Si $0 < q < 1$, la suite $(u_n)$ est **strictement croissante**. - Si $q = 1$, la suite $(u_n)$ est **constante**. - **Cas où $q < 0$ :** La suite n'est **pas monotone** (les termes alternent de signe). ### C. Suites Arithmético-Géométriques > [!abstract] Définition > Une suite est **arithmético-géométrique** si elle s'écrit sous la forme : > $u_{n+1} = a u_n + b \quad \text{avec } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\} \text{ et } b \in \mathbb{R}^*$ > [!example] Exemple et Méthode complète > Soit la suite définie par $\begin{cases} u_0 = 7 \\ u_{n+1} = 3u_n - 4 \end{cases}$ > > 1. **Recherche du point fixe $\ell$** : > $\ell = 3\ell - 4 \iff -2\ell = -4 \iff \ell = 2$ > 2. **Suite auxiliaire $v_n = u_n - 2$** : > $v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = (3u_n - 4) - 2 = 3u_n - 6 = 3(u_n - 2) = 3v_n$ > $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 3$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 2 = 7 - 2 = 5$. > 3. **Expression explicite de $v_n$** : > $v_n = 5 \times 3^n$ > 4. **Expression explicite de $u_n$** : > $u_n = v_n + 2 = 5 \times 3^n + 2$ # ➡️ C'est la fin - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Exercices - Suites Numériques]] - Page d'accueil de la compétence: [[Suites Numériques]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] - Dernière MAJ: `18-août-2026` %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Suites Numériques/Suites Numériques|Accueil · Suites Numériques]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Suites Numériques/Exercices - Suites Numériques\|Exercices - Suites Numériques →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%