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Montrer que $U_n>3$, pour tout entier $n$. ## Exercice 5 Soit la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_1=1$ et de raison $r=2$. 1. Calculer le $n^{ième}$ terme. 2. Calculer la somme des $n$ premiers termes. 3. Déduire $S_{10}$ et $S_{25}$. ## Exercice 6 La suite $(u_n)$ est donnée par son terme général $u_n$. Dire si elle est arithmétique et préciser sa raison $r$ et son premier terme $u_0$, dans chacun des cas suivants. 1. $u_n=\frac{2n+5}{2}$. 2. $u_n=3^n+n$. ## Exercice 7 Soit $(U_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et $S_n=U_0+U_1+...+U_n$. 1. Sachant que $r=5$ et $U_0=1$, calculer $U_4$ et $S_{10}$. 2. Sachant que $r=-5$ et $U_3=1$, calculer $U_0$ et $S_3$. 3. Sachant que $U_4=35$ et $U_2=15$, calculer $r$ et $U_0$. 4. Sachant que $U_3=5$ et $S_4=-1$, calculer $r$ et $U_0$. ## Exercice 8 $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0=1$ et de raison $9$. 1. Donner le terme général $u_n$. 2. Exprimer la somme $S=u_0+u_1+...+u_n$ en fonction de $n$. 3. Déterminer $n$ pour que $S=141$. ## Exercice 9 Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et $S_n=v_0+v_1+...+v_n$. 1. Sachant que $v_0=\frac{1}{2}$ et $q=2$, calculer $v_8$ et $S_7$. 2. Sachant que $v_0=1$ et $v_5=\frac{1}{32}$, calculer $q$ et $S_4$. ## Exercice 10 La suite $(u_n)$ est donnée par son terme général $u_n$. Dire si elle est géométrique et préciser sa raison $q$ et son premier terme $u_0$, dans chacun des cas suivants. 1. $u_n=\frac{1}{3n+1}$. 2. $u_n=\sqrt{2^n}$. 3. $u_n=3^n\cdot2^{2n+1}$. ## Exercice 11 Le deuxième et le sixième termes d'une suite géométrique $(u_n)$ sont $u_8=-6$ et $u_{12}=-486$. 1. Quel est le premier terme de cette suite? 2. Calculer $u_7+u_8+....+u_{12}$. ## Exercice 12 Calculer les sommes suivantes: 1. $S_1=7+13+19+...85+91$. 2. $S_2=2011+2012+...+2098+2099$. 3. $S_3=2^5+2^6+...+2^{20}$. 4. $S_4=1-2+4-8+16-...+1024$. # Corrigés détaillés ## Correction de l'Exercice 1 1. Il faut que $2n-4\geq0\implies2n\geq4\implies n\geq2$.    donc le premier terme est $V_2=\sqrt{2(2)-4}=0$. 2. $V_3=\sqrt{2(3)-4}=\sqrt2$ et $V_4=\sqrt{2(4)-4}=\sqrt{4}=2$. ## Correction de l'Exercice 2 1. $U_0=10 < U_1=17 < U_2=26$.    $U_{n+1}=(n+1)^2+6(n+1)+10=n^2+2n+1+6n+6+10=n^2+8n+11$.    $U_{n+1}-U_n=n^2+8n+11-(n^2+6n+10)=2n+1$.    or $n\geq0 \implies 2n\geq0 \implies 2n+1\geq1>0$.      Par suite, $U_{n+1}-U_n>0 \implies (U_n)$ strictement croissante. 2. $U_0=\frac{2}{3}< U_1=\frac{5}{5}=1 < U_2=\frac{8}{7}$    $U_{n+1}=\frac{3(n+1)+2}{2(n+1)+3}=\frac{3n+5}{2n+5}$.    $U_{n+1}-U_n=\frac{3n+5}{2n+5}-\frac{3n+2}{2n+3}=\frac{(3n+5)(2n+3)-(3n+2)(2n+5)}{(2n+5)(2n+3)}=\frac{6n^2+9n+10n+15-6n^2-15n-4n-10}{(2n+5)(2n+3)}=\frac{5}{(2n+5)(2n+3)}$ or  $n\geq0 \implies 2n\geq0 \implies 2n+5\geq5>0$ et $n\geq0 \implies 2n\geq0 \implies 2n+3\geq3>0$ et $5>0$.    Par suite, $U_{n+1}-U_n=\frac{5}{(2n+5)(2n+3)}>0 \implies$ $(U_n)$ strictement croissante. 3. $U_0=2\cdot1=2>U_1=2\cdot\frac{1}{2}=1>U_2=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.    $U_{n+1}=2.(\frac{1}{2})^{n+1}$.    $U_{n+1}-U_n=2.(\frac{1}{2})^{n+1}-2.(\frac{1}{2})^n=2.(\frac{1}{2})^n[\frac{1}{2}-1]=2.(\frac{1}{2})^n(-\frac{1}{2})<0\implies(U_n)$ strictement décroissante.    Méthode 2 : On peut montrer que $(U_n)$ est une suite géométrique de premier terme $U_0=2>0$ et de raison $0<q=\frac{1}{2}<1$ alors c'est une suite strictement décroissante. ## Correction de l'Exercice 3 1. Comme $U_{n+1}-U_n=\frac{7}{(n+3)(n+2)}>0\implies(U_n)$ strictement croissante. 2. Pour montrer que $U_n<2$, on peut démontrer que $U_n-2<0$ pour tout entier $n$. $U_n-2=\frac{2n-3}{n+2}-2=\frac{2n-3}{n+2}-2\frac{n+2}{n+2}=\frac{2n-3-2n-4}{n+2}=\frac{-7}{n+2}<0$.    Comme $U_n-2<0\implies U_n<2$. ## Correction de l'Exercice 4 1. Comme $U_{n+1}-U_n=\frac{-2}{(n+2)(n+1)}<0\implies$ $(U_n)$ strictement décroissante. 2. Pour montrer que $U_n>3$, on peut démontrer que $U_n-3>0$ pour tout entier $n$. $U_n-3=\frac{3n+5}{n+1}-3=\frac{3n+5}{n+1}-3.\frac{n+1}{n+1}=\frac{2}{n+1}>0$.    Comme $U_n-3>0\implies U_n>3$. ## Correction de l'Exercice 5 1. $u_n=u_1+(n-1)\cdot r=1+(n-1)\cdot2=1+2n-2=2n-1$. 2. On utilise la formule $S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$ $u_1+u_2+...+u_n=\frac{n}{2}(u_1+u_n)=\frac{n}{2}(1+2n-1)=\frac{n}{2}(2n)=n^2$. 3. $S_{10}=10^2=100$ représente la somme des 10 premiers termes de la suite et $S_{25}=25^2$ représente la somme des 25 premiers termes de la suite. ## Correction de l'Exercice 6 Pour vérifier qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique, on démontre que $u_{n+1}-u_n=cte$ pour tout entier $n$. 1. Pour les premiers termes : $u_0=\frac{5}{2}$, $u_1=\frac{7}{2}$ et $u_2=\frac{9}{2}$ ce qui donne $u_1-u_0=1$ et $u_2-u_1=1$. Pour tout entier $n$ :    $u_{n+1}=\frac{2(n+1)+5}{2}=\frac{2n+7}{2}$ alors $u_{n+1}-u_{n}=\frac{2n+7}{2}-\frac{2n+5}{2}=1=cte$.    Donc, $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=1$ et de premier terme $u_0=\frac{5}{2}$. 2. $u_0=1$, $u_1=4$ et $u_2=11$.    Comme $u_1-u_0=3\neq u_2-u-1=7$ alors $(u_n)$ n'est pas une suite arithmétique. ## Correction de l'Exercice 7 1. $U_4=U_0+(4-0)\cdot r=1+4\cdot 5=1+20=21$.    $S_{10}=U_0+...+U_{10}=\frac{11}{2}(U_0+U_{10})$ Or $U_{10}=U_0+(10-0)\cdot r=1+10\cdot 5=51$.    Alors, $S_{10}=\frac{11}{2}(1+51)=286$.   2. $U_3=U_0+3\cdot r$ alors $U_0=U_3-3\cdot r=1-3\cdot(-5)=1+15=16$.    $S_3=U_0+...+U_3=\frac{4}{2}(U_0+U_3)=2(16+1)=34$. 3. $U_4=U_2+2\cdot r$ alors $r=\frac{U_4-U_2}{2}=\frac{35-15}{2}=10$.    $U_2=U_0+2\cdot r$ alors $U_0=U_2-2\cdot r=15-2(10)=15-20=-5$. 4. $S_4=-1$ alors $U_0+...+U_4=\frac{5}{2}(U_0+U_4)=\frac{5}{2}(U_0+U_4)=-1$.    Exprimer $U_0$ et $U_4$ en fonction de $r$ :$U_0=U_3-3\cdot r=5-3r$ et $U_4=U_3+r=5+r$Alors, $\frac{5}{2}(5-3r+5+r)=-1$$\frac{5}{2}(10-2r)=-1$$25-5r=-1$$5r=26$$r=\frac{26}{5}=5,2$    $U_0=5-3\cdot r=5-3\cdot 5,2=-10,6$. ## Correction de l'Exercice 8 1. $u_n=u_0+n\cdot r=1+9n=9n+1$. 2. $S=\frac{n+1}{2}(u_0+u_n)=\frac{n+1}{2}(1+9n+1)=\frac{(n+1)(9n+2)}{2}$. 3.  $S=141$ $\frac{(n+1)(9n+2)}{2}=141$    $9n^2+2n+9n+2=282$    $9n^2+11n-280=0$    $\Delta=11^2-4\cdot9\cdot(-280)=10201$    donc, on a deux solutions $n=5$ (acceptable) ou $n=-\frac{56}{9}$ (inacceptable). ## Correction de l'Exercice 9 1. $v_8=v_0\cdot q^{8}=\frac{1}{2}\cdot 2^8=2^7$.    $S_7=\frac{q^{8}-1}{q-1}\cdot v_0=\frac{2^8-1}{2-1}\cdot\frac{1}{2}=\frac{255}{2}$ 2. $v_5=v_0\cdot q^{5}\implies \frac{1}{32}=1\cdot q^5\implies q^5=\frac{1}{32}\implies q=\frac{1}{2}$.    $S_4=\frac{q^{5}-1}{q-1}\cdot v_0=\frac{(\frac{1}{2})^5-1}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{-31}{32}}{-\frac{1}{2}}=\frac{31}{16}$ ## Correction de l'Exercice 10 Pour vérifier qu'une suite $(u_n)$ est géométrique, on démontre que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=cte$ pour tout entier $n$. 1. $u_0=1$, $u_1=\frac{1}{4}$ et $u_2=\frac{1}{7}$.    Comme $\frac{u_1}{u_0}=\frac{1}{4}\neq\frac{u_2}{u_1}=\frac{4}{7}$ alors cette suite est une suite non géométrique. 2. Pour les premier termes : $u_0=1$, $u_1=\sqrt{2}$ et $u_2=2$ alors, $\frac{u_1}{u_0}=\sqrt{2}$ et $\frac{u_2}{u_1}=\sqrt{2}$.    Pour tout entier $n$ : $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{2^{n+1}}}{\sqrt{2^n}}=\sqrt{\frac{2^{n+1}}{2^n}}=\sqrt{2}=cte$.    Alors $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\sqrt{2}$ et de premier terme $u_0=1$. 3. Pour les premiers termes : $u_0=2$, $u_1=24$ et $u_2=288$ alors, $\frac{u_1}{u_0}=\frac{24}{2}=12$ et $\frac{u_2}{u_1}=\frac{288}{24}=12$.    Pour tout entier $n$ : $u_{n+1}=3^{n+1}\cdot 2^{2(n+1)+1}=3^{n+1}\cdot 2^{2n+3}$    alors, $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3^{n+1}\cdot2^{2n+3}}{3^n\cdot 2^{2n+1}}=3\cdot2^2=12=cte$Donc, $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=12$ et de premier terme $u_0=2$. ## Correction de l'Exercice 11 1. $u_{12}=u_{8}\cdot q^{14}\implies -486=-6\cdot q^4\implies q^4=81\implies q=+3$ ou $q=-3$      Donc le premier terme est $u_7=u_8 / q=-6/q$    Si $q=+3$ alors $u_7=-2$.    Si $q=-3$ alors $u_7=2$. 2. Si $q=+3$ alors $u_7+...+u_{12}=\frac{q^{12-7+1}-1}{q-1}u_7=\frac{3^6-1}{3-1}(-2)=-728$    Si $q=-3$ alors $u_7+...+u_{12}=\frac{q^{12-7+1}-1}{q-1}u_7=\frac{(-3)^6-1}{-3-1}(2)=-364$ ## Correction de l'Exercice 12 1. Posant $u_0=7$, $u_1=13=7+6=u_0+6$, $u_2=19=13+6=u_1+6$    Donc, $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0=7$ et de raison $r=6$    alors $u_n=u_0+(n-0)r=7+6n$    $u_n=91\implies6n+7=91\implies6n=84\implies n=14$ (on déduit que $u_{14}=91$)    Donc $S_1=u_0+...+u_{14}=\frac{15}{2}(u_0+u_{14})=7,5(7+91)=735$. 2. Posant $u_{11}=2011$, $u_{12}=2012\ldots$ alors on déduit que $u_{99}=2099$ (suite arithmétique de raison $r=1$) alors : $S_2=\frac{2099-2011+1}{2}(u_{11}+u_{99})=182895$. 3. $S_3=u_5+...+u_{20}$ avec $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=2$ tel que $u_n=2^n$.    Donc $S_3=\frac{q^{20-5+1}-1}{q-1}u_5=\frac{2^{16}-1}{2-1}\cdot 2^5=2097120$. 4. Posant $u_0=1=(-2)^0$, $u_1=-2=(-2)^1$ , $u_2=4=(-2)^2,\ldots$    Donc $u_n=(-2)^n$. Ce qui signifie que $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $-2$.    $u_n=1024\implies(-2)^n=1024\implies n=10$ (on déduit que $u_{10}=1024$).    Donc $S_4=u_0+...+u_{10}=\frac{(-2)^{11}-1}{-2-1}(1)=683$.     # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `18-août-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Suites Numériques/Suites Numériques|Accueil · Suites Numériques]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Suites Numériques/Cours 1 - Suites Numériques\|← Cours 1 - Suites Numériques]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %%