# ▷ Cours > Page d'accueil de la compétence: [[Systèmes d'équations linéaires]] >[!tip] Tags >[!note] Fil directeur >Ce chapitre introductif a pour objectif de vous familiariser avec la notion de système d'équations linéaires, de comprendre leur structure, et d'apprendre les premières méthodes pour les résoudre. Vous avez déjà une bonne maîtrise des nombres réels, ce qui est le fondement de ces équations. Nous poserons également les bases pour des concepts plus avancés que vous explorerez plus tard, notamment en algèbre linéaire avec les espaces vectoriels et les matrices. >[!example] Contenu du cours # ❶ Introduction: Qu'est-ce qu'un Système d'Équations Linéaires ? Commençons par définir les éléments fondamentaux. > [!definition] Équation Linéaire > Une **équation linéaire** à $n$ inconnues $x_1, x_2, \dots, x_n$ est une équation de la forme : > $ a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n = b $ > où : > - $x_1, x_2, \dots, x_n$ sont les **inconnues** (ou variables). > - $a_1, a_2, \dots, a_n$ sont les **coefficients** (nombres réels connus) associés aux inconnues. > - $b$ est le **second membre** (ou terme constant), un nombre réel connu. > > Une équation est dite linéaire si les inconnues apparaissent uniquement avec une puissance de 1 (pas de $x^2$, $\sqrt{x}$, $xy$, $\sin(x)$, etc.). > [!example] Exemples d'équations linéaires et non linéaires > - **Linéaires :** > - $3x - 2y = 5$ (2 inconnues : $x, y$) > - $x_1 + 4x_2 - x_3 = 0$ (3 inconnues : $x_1, x_2, x_3$) > - $7z = 14$ (1 inconnue : $z$) > - **Non linéaires :** > - $x^2 + y = 1$ (présence de $x^2$) > - $2xy - z = 3$ (présence du produit $xy$) > - $\sqrt{x} + y = 2$ (présence de $\sqrt{x}$) > [!definition] Système d'Équations Linéaires > Un **système d'équations linéaires** est un ensemble de $m$ équations linéaires impliquant les mêmes $n$ inconnues. Il peut être écrit sous la forme générale : > $ > \begin{cases} > a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ > a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ > \quad \vdots \\ > a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m > \end{cases} > $ > où : > - $a_{ij}$ sont les coefficients de l'équation $i$ et de l'inconnue $j$. > - $b_i$ sont les seconds membres des équations. > [!note] Nomenclature > - Un système avec $m$ équations et $n$ inconnues est parfois appelé un système $m \times n$. > - Si $m=n$, le système est dit **carré**. > - Si $b_1 = b_2 = \dots = b_m = 0$, le système est dit **homogène**. # ❷ Représentations d'un Système Linéaire Un système linéaire peut être représenté de différentes manières, chacune ayant ses avantages. ## Forme Générale (Déjà vue) C'est la forme la plus directe et la plus intuitive, comme présenté dans la définition. > [!example] Système 2x2 > Un système de 2 équations à 2 inconnues $(x, y)$ : > $ > \begin{cases} > 2x + 3y = 7 \\ > x - y = 1 > \end{cases} > $ > Ici, $m=2$, $n=2$. Les coefficients sont $a_{11}=2, a_{12}=3, a_{21}=1, a_{22}=-1$. Les seconds membres sont $b_1=7, b_2=1$. ## Forme Matricielle (Préparation pour l'Algèbre Linéaire) Pour les systèmes plus grands, l'écriture matricielle est beaucoup plus compacte et permet d'utiliser des outils puissants de l'algèbre linéaire. Bien que nous n'allions pas détailler les opérations matricielles ici, il est bon de savoir que tout système linéaire peut s'écrire sous la forme : $ \mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B} $ où : - $\mathbf{A}$ est la **matrice des coefficients** ($m \times n$). - $\mathbf{X}$ est le **vecteur colonne des inconnues** ($n \times 1$). - $\mathbf{B}$ est le **vecteur colonne des seconds membres** ($m \times 1$). > [!example] Forme matricielle du système 2x2 précédent > Pour le système : > $ > \begin{cases} > 2x + 3y = 7 \\ > x - y = 1 > \end{cases} > $ > La forme matricielle est : > $ > \begin{pmatrix} > 2 & 3 \\ > 1 & -1 > \end{pmatrix} > \begin{pmatrix} > x \\ > y > \end{pmatrix} > = > \begin{pmatrix} > 7 \\ > 1 > \end{pmatrix} > $ > Ici, $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, et $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}$. # ❸ Solutions d'un Système Linéaire Résoudre un système d'équations linéaires, c'est trouver toutes les valeurs (s'il en existe) des inconnues qui satisfont *simultanément* toutes les équations du système. > [!definition] Solution d'un Système > Une **solution** d'un système de $m$ équations à $n$ inconnues est un $n$-uplet $(s_1, s_2, \dots, s_n)$ de nombres réels tel que, si l'on substitue $x_1=s_1, x_2=s_2, \dots, x_n=s_n$ dans chaque équation du système, toutes les équations sont vérifiées. > L'ensemble de toutes les solutions est appelé l'**ensemble des solutions** du système. ## Interprétation Géométrique (pour les petits systèmes) Pour les systèmes à 2 ou 3 inconnues, nous pouvons visualiser les solutions géométriquement. * **2 inconnues ($x, y$) :** Chaque équation linéaire représente une droite dans le plan. * **Solution unique :** Les deux droites se coupent en un seul point. * **Aucune solution :** Les deux droites sont parallèles et distinctes (elles ne se coupent jamais). * **Infinité de solutions :** Les deux droites sont confondues (elles représentent la même droite). * **3 inconnues ($x, y, z$) :** Chaque équation linéaire représente un plan dans l'espace. * **Solution unique :** Les trois plans se coupent en un seul point. * **Aucune solution :** Les plans sont parallèles, ou se coupent deux à deux sans point commun aux trois. * **Infinité de solutions :** Les plans se coupent le long d'une droite, ou sont confondus. > [!note] Nature des solutions > Un système d'équations linéaires peut avoir exactement trois types d'ensembles de solutions : > 1. **Une solution unique.** (Système **compatible déterminé**) > 2. **Une infinité de solutions.** (Système **compatible indéterminé**) > 3. **Aucune solution.** (Système **incompatible**) Il est *impossible* qu'un système linéaire ait, par exemple, exactement deux solutions. C'est une propriété fondamentale de la linéarité. # ❹ Méthodes de Résolution Élémentaires Pour les systèmes de petite taille, des méthodes directes peuvent être utilisées. Nous allons nous concentrer sur la méthode de substitution, qui est très intuitive. ## Méthode de la Substitution Cette méthode consiste à exprimer une inconnue en fonction des autres à partir d'une des équations, puis à substituer cette expression dans les autres équations. Cela réduit le nombre d'inconnues et d'équations à chaque étape. **Algorithme :** 1. **Choisir une équation et une inconnue :** Sélectionnez l'équation la plus simple (souvent celle avec un coefficient de 1 ou -1) et l'inconnue à isoler. 2. **Exprimer l'inconnue :** Réécrivez cette équation pour exprimer l'inconnue choisie en fonction des autres inconnues. 3. **Substituer :** Remplacez cette expression de l'inconnue dans *toutes les autres* équations du système. 4. **Réduire :** Vous obtenez un nouveau système avec une équation et une inconnue de moins. 5. **Répéter :** Continuez ce processus jusqu'à obtenir une équation avec une seule inconnue. 6. **Résoudre et remonter :** Résolvez cette dernière équation, puis utilisez la valeur trouvée pour remonter et trouver les autres inconnues par substitutions successives. > [!example] Résolution par substitution > Résolvons le système suivant : > $ > \begin{cases} > (L_1) : 2x + 3y = 7 \\ > (L_2) : x - y = 1 > \end{cases} > $ > > **Étape 1 & 2 :** Choisissons l'équation $(L_2)$ et isolons $x$ car son coefficient est 1. > De $(L_2)$, on tire : $x = 1 + y$. > > **Étape 3 :** Substituons cette expression de $x$ dans l'équation $(L_1)$. > $2(1+y) + 3y = 7$ > > **Étape 4 :** Simplifions et résolvons cette nouvelle équation pour $y$. > $2 + 2y + 3y = 7$ > $2 + 5y = 7$ > $5y = 7 - 2$ > $5y = 5$ > $y = 1$ > > **Étape 5 :** Nous avons trouvé $y=1$. > > **Étape 6 :** Remontons pour trouver $x$ en utilisant l'expression $x = 1 + y$. > $x = 1 + 1$ > $x = 2$ > > La solution unique du système est donc $(x, y) = (2, 1)$. > **Vérification :** > - $(L_1) : 2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7$ (Vrai) > - $(L_2) : 2 - 1 = 1$ (Vrai) > [!tip] Quand utiliser la substitution ? > La méthode de substitution est particulièrement efficace lorsque l'une des équations permet d'exprimer facilement une inconnue en fonction des autres (par exemple, si un coefficient est 1 ou -1). Pour des systèmes plus grands ou plus complexes, des méthodes plus systématiques comme le pivot de Gauss (que vous verrez plus tard) sont préférables. ## Méthode par Combinaison Linéaire (ou Addition) Cette méthode consiste à multiplier les équations par des constantes appropriées pour qu'en les additionnant (ou soustrayant), une ou plusieurs inconnues s'éliminent. > [!example] Résolution par combinaison > Reprenons le même système : > $ > \begin{cases} > (L_1) : 2x + 3y = 7 \\ > (L_2) : x - y = 1 > \end{cases} > $ > > **Étape 1 :** Pour éliminer $y$, nous pouvons multiplier $(L_2)$ par 3. > $(L_1) : 2x + 3y = 7$ > $3 \times (L_2) : 3(x - y) = 3(1) \implies 3x - 3y = 3$ > > **Étape 2 :** Additionnons les deux nouvelles équations : > $(2x + 3y) + (3x - 3y) = 7 + 3$ > $5x = 10$ > $x = 2$ > > **Étape 3 :** Substituons $x=2$ dans l'une des équations originales, par exemple $(L_2)$ : > $2 - y = 1$ > $-y = 1 - 2$ > $-y = -1$ > $y = 1$ > > On retrouve bien la solution $(x, y) = (2, 1)$. ## Méthode Graphique (pour les systèmes 2x2) Pour les systèmes à deux inconnues, il est possible de tracer les droites correspondant à chaque équation. Le point d'intersection (s'il existe) est la solution du système. > [!example] Résolution graphique du système 2x2 > $ > \begin{cases} > (L_1) : 2x + 3y = 7 \\ > (L_2) : x - y = 1 > \end{cases} > $ > > Pour tracer $(L_1) : 2x + 3y = 7$ : > - Si $x=0$, $3y=7 \implies y=7/3 \approx 2.33$. Point $(0, 7/3)$. > - Si $y=0$, $2x=7 \implies x=7/2 = 3.5$. Point $(7/2, 0)$. > > Pour tracer $(L_2) : x - y = 1 \implies y = x - 1$ : > - Si $x=0$, $y=-1$. Point $(0, -1)$. > - Si $y=0$, $x=1$. Point $(1, 0)$. > > En traçant ces deux droites, on observe qu'elles se coupent au point $(2, 1)$. > > (Imaginez un graphique ici avec deux droites se croisant au point (2,1)). > [!warning] Limites de la méthode graphique > La méthode graphique est excellente pour la visualisation et la compréhension, mais elle est imprécise pour des solutions non entières et inapplicable pour des systèmes à plus de trois inconnues. # ❺ Classification des Systèmes Linéaires Comme nous l'avons évoqué, la nature des solutions d'un système linéaire est une information cruciale. ## Systèmes Homogènes Un système linéaire est dit **homogène** si tous ses seconds membres sont nuls : $ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\ \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases} $ > [!theorem] Solution triviale des systèmes homogènes > Tout système linéaire homogène admet toujours au moins une solution : la **solution triviale** $(x_1, x_2, \dots, x_n) = (0, 0, \dots, 0)$. > En effet, si l'on substitue toutes les inconnues par 0, chaque équation devient $0 = 0$, ce qui est toujours vrai. > > Par conséquent, un système homogène est toujours **compatible** (il a au moins une solution). Il sera soit compatible déterminé (solution unique, la triviale), soit compatible indéterminé (infinité de solutions, incluant la triviale). ## Systèmes Carrés vs. Rectangulaires * **Système carré ($m=n$) :** Le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues. C'est le cas le plus "équilibré" et souvent celui où l'on s'attend à une solution unique. Cependant, ce n'est pas garanti. * **Système rectangulaire ($m \neq n$) :** * **Plus d'équations que d'inconnues ($m > n$) :** Le système est dit **surdéterminé**. Il y a "trop" de contraintes. Il est souvent incompatible, ou peut avoir une solution unique si les équations sont dépendantes, ou une infinité de solutions. * **Moins d'équations que d'inconnues ($m < n$) :** Le système est dit **sous-déterminé**. Il n'y a pas assez de contraintes. S'il est compatible, il aura toujours une infinité de solutions. Il ne peut jamais avoir une solution unique. > [!example] Système sous-déterminé > $ > \begin{cases} > x + y + z = 1 \\ > x - y + 2z = 0 > \end{cases} > $ > Ici, $m=2$ équations et $n=3$ inconnues. C'est un système sous-déterminé. On s'attend à une infinité de solutions ou aucune. En l'occurrence, il admet une infinité de solutions. # ❻ Exemples 1. **Identification :** Les équations suivantes sont-elles linéaires ? Justifiez. a. $3x - 5y + z = 10$ b. $x^2 + y = 4$ c. $x - \frac{1}{y} = 2$ d. $x_1 + 2x_2 - 3x_3 + 4x_4 = 0$ 2. **Résolution par substitution :** Résolvez les systèmes suivants par la méthode de substitution. a. $ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$ b. $ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases}$ c. $ \begin{cases} -x + y = 2 \\ 2x - 2y = 1 \end{cases}$ 3. **Résolution par combinaison :** Résolvez le système suivant par la méthode par combinaison linéaire. $ \begin{cases} 5x + 2y = 1 \\ 3x + 4y = -5 \end{cases} $ 4. **Nature des solutions :** Sans résoudre, quelle est la nature des solutions (unique, infinité, aucune) pour un système homogène de 3 équations à 2 inconnues ? Expliquez. # ➡️ C'est la fin - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Cours 2 - Systèmes d'équations linéaires]] - Page d'accueil de la compétence: [[Systèmes d'équations linéaires]] - Page d'accueil du domaine: [[Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `05-Octobre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]