%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Systèmes d'équations linéaires|Accueil · Systèmes d'équations linéaires]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Cours 2 - Systèmes d'équations linéaires\|Cours 2 - Systèmes d'équations linéaires →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # ▷ Cours > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Systèmes d'équations linéaires|Systèmes d'équations linéaires]] >[!note] Fil directeur >Ce chapitre introductif a pour objectif de vous familiariser avec la notion de système d'équations linéaires, de comprendre leur structure, et d'apprendre les premières méthodes pour les résoudre. >[!example] Contenu du cours >- Qu'est-ce qu'un système d'équations linéaires ? >- Ensemble de solutions >- Interprétation géométrique >- Méthode de substitution >- Méthode de combinaison # I - Introduction: Qu'est-ce qu'un Système d'Équations Linéaires ? > [!definition] Équation Linéaire > Une **équation linéaire** à $n$ inconnues $x_1, x_2, \dots, x_n$ est une équation de la forme : > $ a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n = b $ > où : > - $x_1, x_2, \dots, x_n$ sont les **inconnues** (ou variables). > - $a_1, a_2, \dots, a_n$ sont les **coefficients** (nombres réels connus) associés aux inconnues. > - $b$ est le **second membre** (ou terme constant), un nombre réel connu. > > Une équation est dite linéaire si les inconnues apparaissent uniquement avec une puissance de 1 (pas de $x^2$, $\sqrt{x}$, $xy$, $\sin(x)$, etc.). > [!example] Exemples d'équations linéaires et non linéaires > - **Linéaires :** > - $3x - 2y = 5$ (2 inconnues : $x, y$) > - $x_1 + 4x_2 - x_3 = 0$ (3 inconnues : $x_1, x_2, x_3$) > - $7z = 14$ (1 inconnue : $z$) > - **Non linéaires :** > - $x^2 + y = 1$ (présence de $x^2$) > - $2xy - z = 3$ (présence du produit $xy$) > - $\sqrt{x} + y = 2$ (présence de $\sqrt{x}$) > [!definition] Système d'Équations Linéaires > Un **système d'équations linéaires** est un ensemble de $m$ équations linéaires impliquant les mêmes $n$ inconnues. Il peut être écrit sous la forme générale : > $ > \begin{cases} > a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ > a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ > \quad \vdots \\ > a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m > \end{cases} > $ > où : > - $a_{ij}$ sont les coefficients de l'équation $i$ et de l'inconnue $j$. > - $b_i$ sont les seconds membres des équations. > [!note] Nomenclature > - Un système avec $m$ équations et $n$ inconnues est parfois appelé un système $m \times n$. > - Si $m=n$, le système est dit **carré**. > - Si $b_1 = b_2 = \dots = b_m = 0$, le système est dit **homogène**. > [!example] Exemples > - **Système carré 2x2** > Un système de 2 équations à 2 inconnues $(x, y)$ : > $ > \begin{cases} > 2x + 3y = 7 \\ > x - y = 1 > \end{cases} > $ > Ici, $m=2$, $n=2$. Les coefficients sont $a_{11}=2, a_{12}=3, a_{21}=1, a_{22}=-1$. Les seconds membres sont $b_1=7, b_2=1$. > - **Système 3x3** > Un système de 3 équations à 3 inconnues $(x, y,z)$ : > $ > \begin{cases} > 2x + 3y +z= 0 \\ > x - y +2z= 0\\ > 3x+y-z=0 > \end{cases} > $ > Ici, $m=3$, $n=3$. Les coefficients sont $a_{11}=2, a_{12}=3, a_{21}=1, a_{23}=2,a_{32}=1$. Les seconds membres sont $b_1=0, b_2=0, b_3=0$, on parle alors d'un système homogène. # II - Solutions d'un Système Linéaire Résoudre un système d'équations linéaires, c'est trouver toutes les valeurs (s'il en existe) des inconnues qui satisfont *simultanément* toutes les équations du système. > [!definition] Solution d'un Système > Une **solution** d'un système de $m$ équations à $n$ inconnues est un $n$-uplet $(s_1, s_2, \dots, s_n)$ de nombres réels tel que, si l'on substitue $x_1=s_1, x_2=s_2, \dots, x_n=s_n$ dans chaque équation du système, toutes les équations sont vérifiées. > L'ensemble de toutes les solutions est appelé l'**ensemble des solutions** du système. >[!example] Exemple : >Soit le système $(S)$ suivant : >$ \begin{cases} > 2x + 3y = 7 \\ > x - y = 1 > \end{cases} > $ > Le couple $(x,y)=(2,1)$ est une solution de $(S)$ car : > - $2\times 2 +3\times 1=7 \implies$ première équation vérifiée. > - $2-1=1\implies$ deuxième équation vérifiée. > [!note] Nature des solutions > Un système d'équations linéaires peut avoir exactement trois types d'ensembles de solutions : > 1. **Une solution unique.** (Système **compatible déterminé**) > 2. **Une infinité de solutions.** (Système **compatible indéterminé**) > 3. **Aucune solution.** (Système **incompatible**) >[!warning] Attention : >Il est *impossible* qu'un système linéaire ait, par exemple, exactement deux solutions. C'est une propriété fondamentale de la linéarité. ## Interprétation Géométrique (pour les petits systèmes) Pour les systèmes à 2 ou 3 inconnues, nous pouvons visualiser les solutions géométriquement. * **2 inconnues ($x, y$) :** Chaque équation linéaire représente une droite dans le plan. * **Solution unique :** Les deux droites se coupent en un seul point. * **Aucune solution :** Les deux droites sont parallèles et distinctes (elles ne se coupent jamais). * **Infinité de solutions :** Les deux droites sont confondues (elles représentent la même droite). * **3 inconnues ($x, y, z$) :** Chaque équation linéaire représente un plan dans l'espace. * **Solution unique :** Les trois plans se coupent en un seul point. * **Aucune solution :** Les plans sont parallèles, ou se coupent deux à deux sans point commun aux trois. * **Infinité de solutions :** Les plans se coupent le long d'une droite, ou sont confondus. # III - Classification des Systèmes Linéaires ## Systèmes Homogènes Un système linéaire est dit **homogène** si tous ses seconds membres sont nuls : $ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\ \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases} $ > [!theorem] Solution triviale des systèmes homogènes > Tout système linéaire homogène admet toujours au moins une solution : la **solution triviale** $(x_1, x_2, \dots, x_n) = (0, 0, \dots, 0)$. > En effet, si l'on substitue toutes les inconnues par 0, chaque équation devient $0 = 0$, ce qui est toujours vrai. > > Par conséquent, un système homogène est toujours **compatible** (il a au moins une solution). Il sera soit compatible déterminé (solution unique, la triviale), soit compatible indéterminé (infinité de solutions, incluant la triviale). ## Systèmes Carrés vs. Rectangulaires * **Système carré ($m=n$) :** Le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues. C'est le cas le plus "équilibré" et souvent celui où l'on s'attend à une solution unique. Cependant, ce n'est pas garanti. * **Système rectangulaire ($m \neq n$) :** * **Plus d'équations que d'inconnues ($m > n$) :** Le système est dit **surdéterminé**. Il y a "trop" de contraintes. Il est souvent incompatible, ou peut avoir une solution unique si les équations sont dépendantes, ou une infinité de solutions. * **Moins d'équations que d'inconnues ($m < n$) :** Le système est dit **sous-déterminé**. Il n'y a pas assez de contraintes. S'il est compatible, il aura toujours une infinité de solutions. Il ne peut jamais avoir une solution unique. > [!example] Système sous-déterminé > $ > \begin{cases} > x + y + z = 1 \\ > x - y + 2z = 0 > \end{cases} > $ > Ici, $m=2$ équations et $n=3$ inconnues. C'est un système sous-déterminé. On s'attend à une infinité de solutions ou aucune. En l'occurrence, il admet une infinité de solutions. # IV - Méthodes de Résolution Élémentaires Pour les systèmes de petite taille, des méthodes directes peuvent être utilisées. ## Méthode de la Substitution Cette méthode consiste à exprimer une inconnue en fonction des autres à partir d'une des équations, puis à substituer cette expression dans les autres équations. Cela réduit le nombre d'inconnues et d'équations à chaque étape. **Algorithme :** 1. **Choisir une équation et une inconnue :** Sélectionnez l'équation la plus simple (souvent celle avec un coefficient de 1 ou -1) et l'inconnue à isoler. 2. **Exprimer l'inconnue :** Réécrivez cette équation pour exprimer l'inconnue choisie en fonction des autres inconnues. 3. **Substituer :** Remplacez cette expression de l'inconnue dans *toutes les autres* équations du système. 4. **Réduire :** Vous obtenez un nouveau système avec une équation et une inconnue de moins. 5. **Répéter :** Continuez ce processus jusqu'à obtenir une équation avec une seule inconnue. 6. **Résoudre et remonter :** Résolvez cette dernière équation, puis utilisez la valeur trouvée pour remonter et trouver les autres inconnues par substitutions successives. > [!example] Résolution par substitution > Résolvons le système suivant : > $ > \begin{cases} > (L_1) : 2x + 3y = 7 \\ > (L_2) : x - y = 1 > \end{cases} > $ > > **Étape 1 & 2 :** Choisissons l'équation $(L_2)$ et isolons $x$ car son coefficient est 1. > De $(L_2)$, on tire : $x = 1 + y$. > > **Étape 3 :** Substituons cette expression de $x$ dans l'équation $(L_1)$. > $2(1+y) + 3y = 7$ > > **Étape 4 :** Simplifions et résolvons cette nouvelle équation pour $y$. > $2 + 2y + 3y = 7$ > $2 + 5y = 7$ > $5y = 7 - 2$ > $5y = 5$ > $y = 1$ > > **Étape 5 :** Nous avons trouvé $y=1$. > > **Étape 6 :** Remontons pour trouver $x$ en utilisant l'expression $x = 1 + y$. > $x = 1 + 1$ > $x = 2$ > > La solution unique du système est donc $(x, y) = (2, 1)$. > [!tip] Quand utiliser la substitution ? > La méthode de substitution est particulièrement efficace lorsque l'une des équations permet d'exprimer facilement une inconnue en fonction des autres (par exemple, si un coefficient est 1 ou -1). Pour des systèmes plus grands ou plus complexes, des méthodes plus systématiques comme le pivot de Gauss (que vous verrez plus tard) sont préférables. ## Méthode par Combinaison Linéaire (ou Addition) Cette méthode consiste à multiplier les équations par des constantes appropriées pour qu'en les additionnant (ou soustrayant), une ou plusieurs inconnues s'éliminent. > [!example] Résolution par combinaison > Reprenons le même système : > $ > \begin{cases} > (L_1) : 2x + 3y = 7 \\ > (L_2) : x - y = 1 > \end{cases} > $ > > **Étape 1 :** Pour éliminer $y$, nous pouvons multiplier $(L_2)$ par 3. > $(L_1) : 2x + 3y = 7$ > $3 \times (L_2) : 3(x - y) = 3(1) \implies 3x - 3y = 3$ > > **Étape 2 :** Additionnons les deux nouvelles équations : > $(2x + 3y) + (3x - 3y) = 7 + 3$ > $5x = 10$ > $x = 2$ > > **Étape 3 :** Substituons $x=2$ dans l'une des équations originales, par exemple $(L_2)$ : > $2 - y = 1$ > $-y = 1 - 2$ > $-y = -1$ > $y = 1$ > > On retrouve bien la solution $(x, y) = (2, 1)$. # ➡️ C'est la fin - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Cours 2 - Systèmes d'équations linéaires|Cours 2 - Systèmes d'équations linéaires]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Systèmes d'équations linéaires|Systèmes d'équations linéaires]] - Page d'accueil du domaine: [[Analyse et Données/Mathématiques/Mathématiques|Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `08-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Systèmes d'équations linéaires|Accueil · Systèmes d'équations linéaires]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Cours 2 - Systèmes d'équations linéaires\|Cours 2 - Systèmes d'équations linéaires →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%