# ▷ Cours > Page d'accueil de la compétence: [[Systèmes d'équations linéaires]] >[!tip] Tags >[!note] Fil directeur >Dans ce cours, nous allons explorer en profondeur la **Méthode de Gauss**, un algorithme puissant et systématique pour trouver les solutions (ou démontrer leur absence) d'un système d'équations linéaires. Nous nous appuierons sur vos connaissances des nombres réels et des opérations algébriques. >[!example] Contenu du cours # ❶ Le Principe de la Méthode de Gauss La méthode de Gauss, aussi appelée **élimination de Gauss**, vise à transformer un système linéaire donné en un système équivalent (c'est-à-dire ayant les mêmes solutions) mais plus simple à résoudre. Cette simplification est obtenue en modifiant les équations de manière systématique jusqu'à obtenir une forme triangulaire supérieure (ou échelonnée). ## Opérations Élémentaires sur les Lignes (OEL) Le cœur de la méthode de Gauss réside dans l'application d'**opérations élémentaires sur les lignes** de la matrice augmentée. Ces opérations ont la propriété fondamentale de ne pas modifier l'ensemble des solutions du système. > [!theorem] Théorème des Opérations Élémentaires > Les opérations suivantes, appliquées aux lignes d'une matrice augmentée, transforment le système linéaire en un système équivalent : > 1. **Permutation de deux lignes** : Échanger la position de deux lignes $L_i \leftrightarrow L_j$. > (Cela revient à changer l'ordre de deux équations). > 2. **Multiplication d'une ligne par un scalaire non nul** : Remplacer une ligne $L_i$ par $k L_i$, où $k \in \mathbb{R}$ et $k \neq 0$. > (Cela revient à multiplier une équation par un nombre non nul). > 3. **Addition d'un multiple d'une ligne à une autre** : Remplacer une ligne $L_i$ par $L_i + k L_j$, où $k \in \mathbb{R}$ et $i \neq j$. > (Cela revient à ajouter un multiple d'une équation à une autre). > [!note] Combinaisons Linéaires > L'opération $L_i \leftarrow L_i + k L_j$ est une **combinaison linéaire** des lignes $L_i$ et $L_j$. C'est l'opération la plus puissante pour "éliminer" des variables. Le but de ces opérations est de créer des zéros sous les pivots successifs, transformant la matrice en une **forme échelonnée**. > [!definition] Forme Échelonnée (ou Triangulaire Supérieure) > Une matrice est en forme échelonnée si elle satisfait les conditions suivantes : > 1. Toutes les lignes entièrement nulles (si elles existent) sont au bas de la matrice. > 2. Le premier élément non nul de chaque ligne non nulle (appelé **pivot**) est à droite du pivot de la ligne précédente. > 3. Tous les éléments situés sous un pivot sont nuls. # ❷ Algorithme de Gauss L'algorithme de Gauss se décompose en deux phases principales : la **phase d'élimination** (ou descente) et la **phase de substitution arrière** (ou remontée). ## Phase d'Élimination (Descente) Cette phase consiste à transformer la matrice augmentée $[A | \mathbf{b}]$ en une forme échelonnée à l'aide des opérations élémentaires sur les lignes. **Étapes de l'algorithme :** 1. **Sélection du Pivot :** * Commencer par la première colonne non entièrement nulle. * Choisir un élément non nul dans cette colonne comme **pivot**. Idéalement, on choisit l'élément le plus haut possible. Si l'élément $a_{11}$ est nul, échanger la première ligne avec une ligne $L_i$ où $a_{i1} \neq 0$. 2. **Normalisation (optionnel mais recommandé pour la clarté) :** * Diviser la ligne du pivot par le pivot lui-même pour que le pivot devienne 1. (Opération de type 2). 3. **Élimination :** * Pour chaque ligne $L_j$ située *sous* la ligne du pivot, effectuer l'opération $L_j \leftarrow L_j - k L_i$, où $L_i$ est la ligne du pivot, et $k$ est choisi de manière à annuler l'élément sous le pivot dans la colonne actuelle. C'est-à-dire, si le pivot est $a_{ii}$ et l'élément à annuler est $a_{ji}$, alors $k = a_{ji} / a_{ii}$. (Opération de type 3). 4. **Itération :** * Passer à la colonne suivante et à la ligne suivante (en ignorant les lignes et colonnes déjà traitées). Répéter les étapes 1 à 3 jusqu'à ce que la matrice soit en forme échelonnée. > [!tip] Choix du Pivot > Pour améliorer la stabilité numérique (surtout en calcul machine), on préfère choisir le pivot de plus grande valeur absolue dans la colonne courante. C'est ce qu'on appelle le **pivotage partiel**. ## Phase de Substitution Arrière (Remontée) Une fois la matrice en forme échelonnée, le système est facile à résoudre. 1. **Identifier les variables :** La dernière équation non nulle (celle avec le pivot le plus à droite) permet de déterminer la dernière variable. 2. **Substituer :** Remonter le système, en substituant les valeurs des variables déjà trouvées dans les équations précédentes pour trouver les autres variables. > [!example] Exemple Détaillé de la Méthode de Gauss > Résolvons le système linéaire suivant : > $ > \begin{cases} > x + 2y - z = 2 \\ > 3x + 8y + z = 12 \\ > 4x + 10y + 2z = 14 > \end{cases} > $ > > **1. Matrice augmentée :** > $ > [A | \mathbf{b}] = \begin{pmatrix} > 1 & 2 & -1 & | & 2 \\ > 3 & 8 & 1 & | & 12 \\ > 4 & 10 & 2 & | & 14 > \end{pmatrix} > $ > > **2. Phase d'Élimination :** > * **Étape 1 : Annuler les éléments sous le pivot $a_{11}=1$.** > * $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ : > $ > \begin{pmatrix} > 1 & 2 & -1 & | & 2 \\ > 0 & 2 & 4 & | & 6 \\ > 4 & 10 & 2 & | & 14 > \end{pmatrix} > $ > * $L_3 \leftarrow L_3 - 4L_1$ : > $ > \begin{pmatrix} > 1 & 2 & -1 & | & 2 \\ > 0 & 2 & 4 & | & 6 \\ > 0 & 2 & 6 & | & 6 > \end{pmatrix} > $ > * **Étape 2 : Annuler l'élément sous le pivot $a_{22}=2$.** > * $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ : > $ > \begin{pmatrix} > 1 & 2 & -1 & | & 2 \\ > 0 & 2 & 4 & | & 6 \\ > 0 & 0 & 2 & | & 0 > \end{pmatrix} > $ > La matrice est maintenant en forme échelonnée. > > **3. Phase de Substitution Arrière :** > Le système équivalent est : > $ > \begin{cases} > x + 2y - z = 2 \quad (L'_1) \\ > 2y + 4z = 6 \quad (L'_2) \\ > 2z = 0 \quad (L'_3) > \end{cases} > $ > * De $(L'_3)$, on tire $2z = 0 \implies z = 0$. > * Substituons $z=0$ dans $(L'_2)$ : $2y + 4(0) = 6 \implies 2y = 6 \implies y = 3$. > * Substituons $y=3$ et $z=0$ dans $(L'_1)$ : $x + 2(3) - 0 = 2 \implies x + 6 = 2 \implies x = -4$. > > La solution unique du système est $(x, y, z) = (-4, 3, 0)$. # ❸ Interprétation des Solutions et Rang d'une Matrice La forme échelonnée de la matrice augmentée nous donne des informations cruciales sur la nature des solutions du système. ## Rang d'une Matrice et Degrés de Liberté > [!definition] Rang d'une Matrice > Le **rang** d'une matrice $A$ est le nombre de pivots (éléments principaux non nuls) dans sa forme échelonnée. On le note $\text{rang}(A)$. > Le rang de la matrice augmentée $[A|\mathbf{b}]$ est le nombre de pivots dans la forme échelonnée de $[A|\mathbf{b}]$. > [!tip] Interprétation du rang > - Lorsque $\text{rang}(A)=\text{rang}([A|b])=n$, le système possède une solution unique. > - Lorsque $\text{rang}(A)=\text{rang}([A|b])<n$, le système admet une infinité de solutions. > - Lorsque $\text{rang}(A)\neq \text{rang}([A|b])$, le système n'a aucune solution. > [!example] Système Indéterminé (Infinité de solutions) > Soit le système : > $ > \begin{cases} > x + y + z = 1 \\ > 2x + 2y + 3z = 3 > \end{cases} > $ > Matrice augmentée : > $ > \begin{pmatrix} > 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ > 2 & 2 & 3 & | & 3 > \end{pmatrix} > $ > $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ : > $ > \begin{pmatrix} > 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ > 0 & 0 & 1 & | & 1 > \end{pmatrix} > $ > La matrice est en forme échelonnée. Les pivots sont $a_{11}=1$ et $a_{23}=1$. > $\text{rang}(A) = 2$. $\text{rang}([A|\mathbf{b}]) = 2$. > Puisque $\text{rang}(A) = \text{rang}([A|\mathbf{b}]) = 2$, le système a des solutions. > Le nombre d'inconnues est $n=3$. Puisque $r=2 < n=3$, il y a une infinité de solutions. > Le nombre de degrés de liberté est $n-r = 3-2 = 1$. > > Le système équivalent est : > $ > \begin{cases} > x + y + z = 1 \\ > z = 1 > \end{cases} > $ > De la deuxième équation, $z=1$. > Substituons $z=1$ dans la première équation : $x + y + 1 = 1 \implies x + y = 0 \implies x = -y$. > > On peut choisir $y$ comme variable libre. Posons $y = \lambda$, où $\lambda \in \mathbb{R}$. > Alors $x = -\lambda$. > La solution générale est donc $(- \lambda, \lambda, 1)$, avec $\lambda \in \mathbb{R}$. > [!example] Système Impossible (Aucune solution) > Soit le système : > $ > \begin{cases} > x + y = 1 \\ > x + y = 2 > \end{cases} > $ > Matrice augmentée : > $ > \begin{pmatrix} > 1 & 1 & | & 1 \\ > 1 & 1 & | & 2 > \end{pmatrix} > $ > $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ : > $ > \begin{pmatrix} > 1 & 1 & | & 1 \\ > 0 & 0 & | & 1 > \end{pmatrix} > $ > La dernière ligne correspond à l'équation $0x + 0y = 1$, soit $0=1$, ce qui est une contradiction. > Ici, $\text{rang}(A) = 1$ (un seul pivot). Mais $\text{rang}([A|\mathbf{b}]) = 2$ (le 1 en dernière colonne est un pivot pour la matrice augmentée). > Puisque $\text{rang}(A) \neq \text{rang}([A|\mathbf{b}])$, le système est **impossible**. # ➡️ C'est la fin La méthode de Gauss est un pilier de l'algèbre linéaire, offrant un algorithme robuste et systématique pour la résolution des systèmes d'équations linéaires. Vous avez appris à transformer un système complexe en une forme échelonnée équivalente, puis à en déduire les solutions par substitution arrière. --- - Cours précèdent: [[Cours 1 - Systèmes d'équations linéaires]] - Prochain cours: [[Exercices - Systèmes d'équations linéaires]] - Page d'accueil de la compétence: [[Systèmes d'équations linéaires]] - Page d'accueil du domaine: [[Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `05-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]