%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Systèmes d'équations linéaires|Accueil · Systèmes d'équations linéaires]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Cours 1 - Systèmes d'équations linéaires\|← Cours 1 - Systèmes d'équations linéaires]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Exercices - Systèmes d'équations linéaires\|Exercices - Systèmes d'équations linéaires →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # ▷ Cours > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Systèmes d'équations linéaires|Systèmes d'équations linéaires]] >[!note] Fil directeur >Dans ce cours, nous allons explorer en profondeur la **Méthode de Gauss**, un algorithme puissant et systématique pour trouver les solutions (ou démontrer leur absence) d'un système d'équations linéaires. >[!example] Contenu du cours >- Opérations élémentaires >- Méthode de Gauss >- Rang et Degré de liberté # I - Le Principe de la Méthode de Gauss La méthode de Gauss, aussi appelée **élimination de Gauss**, vise à transformer un système linéaire donné en un système équivalent (c'est-à-dire ayant les mêmes solutions) mais plus simple à résoudre. Cette simplification est obtenue en modifiant les équations de manière systématique jusqu'à obtenir une forme triangulaire supérieure (ou échelonnée). ## Opérations Élémentaires sur les Lignes (OEL) Le cœur de la méthode de Gauss réside dans l'application d'**opérations élémentaires sur les lignes** de la forme augmentée. Ces opérations ont la propriété fondamentale de ne pas modifier l'ensemble des solutions du système. > [!theorem] Théorème des Opérations Élémentaires > Les opérations suivantes transforment le système linéaire en un système équivalent : > 1. **Permutation de deux lignes** : Échanger la position de deux lignes $L_i \leftrightarrow L_j$. > (Cela revient à changer l'ordre de deux équations). > 2. **Multiplication d'une ligne par un scalaire non nul** : Remplacer une ligne $L_i$ par $k L_i$, où $k \in \mathbb{R}$ et $k \neq 0$. > (Cela revient à multiplier une équation par un nombre non nul). > 3. **Addition d'un multiple d'une ligne à une autre** : Remplacer une ligne $L_i$ par une **combinaison linéaire** des lignes $L_i$ et $L_j$ c'est-à-dire, $L_i \leftarrow L_i + k L_j$, où $k \in \mathbb{R}$ et $i \neq j$. > (Cela revient à ajouter un multiple d'une équation à une autre). Le but de ces opérations est de créer des zéros sous les pivots successifs, transformant le système en une **forme échelonnée**. > [!definition] Forme Échelonnée (ou Triangulaire Supérieure) > Un système est en forme échelonnée s'il satisfait les conditions suivantes : > 1. Toutes les lignes entièrement nulles (si elles existent) sont au bas du système. > 2. Le premier élément non nul de chaque ligne non nulle (appelé **pivot**) est à droite du pivot de la ligne précédente. > 3. Tous les éléments situés sous un pivot sont nuls. >[!example] Exemple : Le système suivant est un système échelonnée : $\begin{cases} \boxed{2x} + 3y - z = 1 \\ \quad \quad \boxed{4y} + 2z = 10 \\ \quad \quad \quad \quad \boxed{5z} = 15 \end{cases}$ Le pivot de la première ligne est $2x$, le pivot de la deuxième ligne est $4y$ et celui de la dernière ligne est $5z$. # II - Algorithme de Gauss L'algorithme de Gauss se décompose en deux phases principales : la **phase d'élimination** (ou descente) et la **phase de substitution arrière** (ou remontée). ## A - Phase d'Élimination (Descente) Cette phase consiste à transformer le système en une forme échelonnée à l'aide des opérations élémentaires sur les lignes. **Étapes de l'algorithme :** 1. **Sélection du Pivot :** * Commencer par la première colonne non entièrement nulle. * Choisir un élément non nul dans cette colonne comme **pivot**. Idéalement, on choisit l'élément le plus haut possible. Si l'élément $a_{11}$ est nul, échanger la première ligne avec une ligne $L_i$ où $a_{i1} \neq 0$. 2. **Normalisation (optionnel mais recommandé pour la clarté) :** * Diviser la ligne du pivot par le pivot lui-même pour que le pivot devienne 1. (Opération de type 2). 3. **Élimination :** * Pour chaque ligne $L_j$ située *sous* la ligne du pivot, effectuer l'opération $L_j \leftarrow L_j - k L_i$, où $L_i$ est la ligne du pivot, et $k$ est choisi de manière à annuler l'élément sous le pivot dans la colonne actuelle. C'est-à-dire, si le pivot est $a_{ii}$ et l'élément à annuler est $a_{ji}$, alors $k = a_{ji} / a_{ii}$. (Opération de type 3). 4. **Itération :** * Passer à la colonne suivante et à la ligne suivante (en ignorant les lignes et colonnes déjà traitées). Répéter les étapes 1 à 3 jusqu'à ce que le système soit en forme échelonnée. ## B - Phase de Substitution Arrière (Remontée) Une fois le système en forme échelonnée, il devient facile à résoudre. 1. **Identifier les variables :** La dernière équation non nulle (celle avec le pivot le plus à droite) permet de déterminer la dernière variable. 2. **Substituer :** Remonter le système, en substituant les valeurs des variables déjà trouvées dans les équations précédentes pour trouver les autres variables. > [!example] Exemple 1 : Système à solution unique > Résolvons le système linéaire suivant : > $ > \begin{cases} > x + 2y - z = 2 \\ > 3x + 8y + z = 12 \\ > 4x + 10y + 2z = 14 > \end{cases} > $ > > **1. Phase d'Élimination :** > * **Étape 1 : Annuler les éléments sous le pivot $a_{11}=1$.** > * $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ : > $ > \begin{cases} > x & +2y & -z & = & 2 \\ > & +2y & +4z & = & 6 \\ > 4x & +10y & +2z & = & 14 > \end{cases} > $ > * $L_3 \leftarrow L_3 - 4L_1$ : > $ > \begin{cases} > 1x & +2x & -1z & = & 2 \\ > & +2y & +4z & = & 6 \\ > & +2y & +6z & = & 6 > \end{cases} > $ > * **Étape 2 : Annuler l'élément sous le pivot $a_{22}=2$.** > * $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ : > $ > \begin{cases} > x & +2y & -z & = & 2 \\ > & +2y & +4z & = & 6 \\ > & & +2z & = & 0 > \end{cases} > $ > Le système est maintenant en forme échelonnée. > > **2. Phase de Substitution Arrière :** > Le système équivalent est : > $ > \begin{cases} > x & + 2y &- z &=& 2 \quad (L'_1) \\ > &+2y &+ 4z &=& 6 \quad (L'_2) \\ > & &+2z& = &0 \quad (L'_3) > \end{cases} > $ > * De $(L'_3)$, on tire $2z = 0 \implies z = 0$. > * Substituons $z=0$ dans $(L'_2)$ : $2y + 4(0) = 6 \implies 2y = 6 \implies y = 3$. > * Substituons $y=3$ et $z=0$ dans $(L'_1)$ : $x + 2(3) - 0 = 2 \implies x + 6 = 2 \implies x = -4$. > > La solution unique du système est $(x, y, z) = (-4, 3, 0)$. > [!example] Exemple 2 : Système admettant une infinité de solutions > Soit le système : > $ > \begin{cases} > x + y + z = 1 \\ > 2x + 2y + 3z = 3 > \end{cases}$ > > **1. Phase d'élimination :** > $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ : > $ > \begin{cases} > x & +y & +z & = & 1 \\ > & & +z & = & 1 > \end{cases} > $ > **2. Phase de substitution :** > De la deuxième équation, $z=1$. > Substituons $z=1$ dans la première équation : $x + y + 1 = 1 \implies x + y = 0 \implies x = -y$. > > On peut choisir $y$ comme variable libre. Posons $y = \lambda$, où $\lambda \in \mathbb{R}$. > Alors $x = -\lambda$. > La solution générale est donc $(- \lambda, \lambda, 1)$, avec $\lambda \in \mathbb{R}$. > On a alors une infinité de solutions. >[!example] Exemple 3 : Système sans solution > Soit le système : > $ > \begin{cases} > x + y = 1 \\ > x + y = 2 > \end{cases} > $ >**1. Phase d'élimination :** > $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ : > $ > \begin{cases} > x & +y & = & 1 \\ > & 0 & = & 1 > \end{cases} > $ > La dernière ligne correspond à l'équation $0=1$, ce qui est une contradiction. Donc, il n'y a besoin de faire la deuxième étape. Le système ne possède aucune solution. # III - Rang du système et nombre de solutions La forme échelonnée du système nous donne des informations cruciales sur la nature des solutions du système. > [!theorem] Le Rang d'un Système > Une fois que vous avez fini de simplifier un système avec la méthode de Gauss (pour le rendre triangulaire), le **rang** du système est tout simplement le **nombre d'équations "utiles"** qu'il reste (c'est-à-dire les lignes qui ne sont pas devenues $0 = 0$). > > On note : > - $n$ : le nombre d'inconnues au départ ($x, y, z \dots$). > - $r$ : le rang (le nombre de pivots ou d'équations restantes). > [!tip] Interprétation du rang > Pour savoir si un système a des solutions, on regarde ce qu'il se passe après la simplification : > > 1. **Solution Unique :** > Si le nombre d'équations utiles est égal au nombre d'inconnues ($r = n$). > > 2. **Infinité de Solutions :** > Si le nombre d'équations utiles est inférieur au nombre d'inconnues ($r < n$) **ET** qu'il n'y a pas d'absurdité. > Dans ce cas, on peut calculer le **degré de liberté** $= n - r$. > > 3. **Aucune Solution :** > Si, lors du calcul, vous tombez sur une équation absurde du type **$0 = \text{constante non nulle}$** (par exemple $0 = 5$). >[!example] Exemples : **Cas 1 :** on reprend l'exemple 1 précédent : $\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 3x + 8y + z = 12 \\ 4x + 10y + 2z = 14 \end{cases} $ Après échelonnement, on a trouvé $\begin{cases} x & + 2y &- z &=& 2 \\ &+2y &+ 4z &=& 6\\ & &+2z& = &0 \end{cases}$ > On a $3$ équations utiles ($r=3$) et trois inconnues ($n=3$). Donc, le **système admet une unique solution.** **Cas 2 :** Reprenons maintenant l'exemple 2 précédent, $ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 3z = 3 \end{cases}$ Après échelonnement, on trouve $\begin{cases} x & +y & +z & = & 1 \\ & & +z & = & 1 \end{cases}$ On a $2$ équations utiles ($r=2$), trois inconnues ($n=3$) et pas d'absurdité. Donc, **le système admet une infinité de solutions.** **Cas 3 :** Dans l'exemple 3 précédent, après échelonnement du système $\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases} $ on a trouvé $\begin{cases} x & +y & = & 1 \\ & 0 & = & 1 \end{cases}$ On a $1$ équations non nulles ($r=1$), deux inconnues ($n=2$) mais avec une contradiction. Donc, **le système n'admet pas de solution.** # ➡️ C'est la fin La méthode de Gauss est un pilier de l'algèbre linéaire, offrant un algorithme robuste et systématique pour la résolution des systèmes d'équations linéaires. Vous avez appris à transformer un système complexe en une forme échelonnée équivalente, puis à en déduire les solutions par substitution arrière. --- - Cours précèdent: [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Cours 1 - Systèmes d'équations linéaires|Cours 1 - Systèmes d'équations linéaires]] - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Exercices - Systèmes d'équations linéaires|Exercices - Systèmes d'équations linéaires]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Systèmes d'équations linéaires|Systèmes d'équations linéaires]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `08-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Systèmes d'équations linéaires|Accueil · Systèmes d'équations linéaires]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Cours 1 - Systèmes d'équations linéaires\|← Cours 1 - Systèmes d'équations linéaires]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Exercices - Systèmes d'équations linéaires\|Exercices - Systèmes d'équations linéaires →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%