# ▷ Exos > Page d'accueil de la compétence: [[Systèmes d'équations linéaires]] >[!example] Historique des cours > - [[Cours 1 - Systèmes d'équations linéaires]] > - [[Cours 2 - Systèmes d'équations linéaires]] ## Exercices d'application directe Ces exercices visent à tester votre compréhension des définitions fondamentales et des premières manipulations. ### Exercice 1 Considérons le système d'équations linéaires suivant : $ (S_1) \quad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 3y = 5 \end{cases} $ 1. Le système $(S_1)$ est-il linéaire ? Justifiez votre réponse. 2. Résolvez le système $(S_1)$ par la méthode de votre choix (substitution ou combinaison linéaire). 3. Interprétez géométriquement la solution trouvée. ### Exercice 2 Pour chacun des cas suivants : 1. Indiquez si l'équation est linéaire ou non : a. $3x - 2y + z = 0$ b. $x^2 + y = 5$ c. $xy - z = 1$ d. $\sqrt{2}x + \pi y - \frac{1}{2}z = 10$ 2. Écrivez le système linéaire suivant sous forme matricielle augmentée $[A | b]$ : $ (S_2) \quad \begin{cases} x - 2y + 3z = 7 \\ 2x + y - z = 4 \\ -x + 3y + 2z = 1 \end{cases} $ ## Exercices de niveau normal Ces exercices nécessitent l'application de la méthode de Gauss et une analyse des différents types de solutions. ### Exercice 3 Résolvez le système linéaire suivant en utilisant la méthode d'élimination de Gauss : $ (S_3) \quad \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + 3y - z = 3 \\ x - y - 2z = 0 \end{cases} $ ### Exercice 4 Résolvez le système linéaire suivant par la méthode de Gauss. Discutez la nature de l'ensemble des solutions. $ (S_4) \quad \begin{cases} x - 2y + z - w = 1 \\ 2x - 4y + 3z + w = 3 \\ -x + 2y - 2z + 2w = -2 \end{cases} $ ### Exercice 5 Appliquez la méthode de Gauss pour déterminer si le système suivant admet des solutions. Si oui, donnez-les. $ (S_5) \quad \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 3x + 7y - 2z = 10 \\ -2x - 4y + 2z = -5 \end{cases} $ ### Exercice 6 Soit le système linéaire $(S_6)$ dépendant d'un paramètre $a \in \mathbb{R}$ : $ (S_6) \quad \begin{cases} x + y - z = 1 \\ x + 2y + az = 2 \\ 2x + ay + z = 3 \end{cases} $ Discutez, en fonction des valeurs de $a$, le nombre de solutions du système $(S_6)$. ## Exercices plus élaborés Ces exercices demandent une modélisation ou une analyse plus approfondie, souvent avec des paramètres multiples ou des contextes appliqués. ### Exercice 7 Une entreprise fabrique trois types de produits $P_1, P_2, P_3$ en utilisant trois machines $M_1, M_2, M_3$. Le temps (en heures) requis par chaque machine pour fabriquer une unité de chaque produit est donné par le tableau suivant : | Produit | $M_1$ | $M_2$ | $M_3$ | | :------ | :---- | :---- | :---- | | $P_1$ | 1 | 2 | 1 | | $P_2$ | 2 | 1 | 3 | | $P_3$ | 1 | 3 | 2 | Les machines $M_1, M_2, M_3$ sont disponibles respectivement 100, 150 et 120 heures par semaine. L'entreprise souhaite utiliser toutes les machines à pleine capacité. Déterminez le nombre d'unités de chaque produit ($x_1, x_2, x_3$ pour $P_1, P_2, P_3$ respectivement) que l'entreprise doit produire par semaine pour atteindre cet objectif. ### Exercice 8 Considérons le système linéaire suivant avec plus d'équations que d'inconnues : $ (S_8) \quad \begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x - y = 3 \\ 3x + y = 4 \\ x + y = 2 \end{cases} $ Déterminez si ce système est compatible (admet une solution) et, si oui, trouvez toutes les solutions. ### Exercice 9 Discutez, en fonction des paramètres $a, b \in \mathbb{R}$, la nature de l'ensemble des solutions du système linéaire suivant : $ (S_9) \quad \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 2 \\ 2x + 3y + az = b \end{cases} $ ### Exercice 10 Soient les vecteurs $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}$ dans $\mathbb{R}^3$. Le vecteur $w = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -7 \end{pmatrix}$ est-il une combinaison linéaire de $v_1, v_2, v_3$ ? Si oui, exprimez $w$ comme telle. *(Indice : cela revient à résoudre un système linéaire.)* # Partie 2 : Corrigés Détaillés ## Correction de l'Exercice 1 1. **Le système $(S_1)$ est-il linéaire ?** > [!definition] Équation Linéaire > Une équation est dite linéaire si elle peut être écrite sous la forme $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b$, où $x_1, \dots, x_n$ sont les variables, et $a_1, \dots, a_n, b$ sont des constantes réelles. Les variables apparaissent uniquement à la puissance 1 et ne sont pas multipliées entre elles. Oui, le système $(S_1)$ est linéaire. Chaque équation est de la forme $ax + by = c$, où $x$ et $y$ sont les variables de puissance 1, et il n'y a pas de produits de variables ($xy$), de puissances supérieures ($x^2$), ou de fonctions non linéaires (comme $\sin(x)$ ou $\ln(y)$). 2. **Résolution du système $(S_1)$ :** Nous allons utiliser la méthode de substitution. De la première équation : $2x - y = 3 \implies y = 2x - 3$. Substituons cette expression de $y$ dans la deuxième équation : $x + 3(2x - 3) = 5$ $x + 6x - 9 = 5$ $7x = 14$ $x = 2$ Maintenant, substituons $x=2$ dans l'expression de $y$ : $y = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$. La solution du système est donc $(x, y) = (2, 1)$. > [!note] Vérification > Il est toujours bon de vérifier la solution en la substituant dans les équations originales : > $2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$ (correct) > $2 + 3(1) = 2 + 3 = 5$ (correct) 3. **Interprétation géométrique :** Chaque équation linéaire à deux variables, $ax + by = c$, représente une droite dans le plan cartésien $\mathbb{R}^2$. La solution du système, $(x, y) = (2, 1)$, représente le point d'intersection unique de ces deux droites dans le plan. > [!tip] Cas possibles pour les systèmes $2 \times 2$ > Géométriquement, deux droites dans le plan peuvent : > - Se couper en un point unique (une solution). > - Être parallèles et distinctes (aucune solution). > - Être confondues (une infinité de solutions). ## Correction de l'Exercice 2 1. **Linéarité des équations :** a. $3x - 2y + z = 0$ : **Linéaire**. Toutes les variables sont à la puissance 1, pas de produits. b. $x^2 + y = 5$ : **Non linéaire**. La variable $x$ est élevée à la puissance 2. c. $xy - z = 1$ : **Non linéaire**. Il y a un produit de variables ($xy$). d. $\sqrt{2}x + \pi y - \frac{1}{2}z = 10$ : **Linéaire**. Les coefficients peuvent être des nombres réels quelconques ; les variables sont à la puissance 1. 2. **Forme matricielle augmentée de $(S_2)$ :** > [!definition] Forme matricielle augmentée > Un système linéaire de $m$ équations à $n$ inconnues peut être représenté sous la forme $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, où $A$ est la matrice des coefficients ($m \times n$), $\mathbf{x}$ est le vecteur colonne des inconnues ($n \times 1$), et $\mathbf{b}$ est le vecteur colonne des termes constants ($m \times 1$). > La matrice augmentée est $[A | \mathbf{b}]$, qui combine la matrice des coefficients et le vecteur des termes constants. Le système $(S_2)$ est : $ \begin{cases} 1x - 2y + 3z = 7 \\ 2x + 1y - 1z = 4 \\ -1x + 3y + 2z = 1 \end{cases} $ La matrice des coefficients $A$ est : $ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix} $ Le vecteur des termes constants $\mathbf{b}$ est : $ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} $ La forme matricielle augmentée $[A | \mathbf{b}]$ est donc : $ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 7 \\ 2 & 1 & -1 & | & 4 \\ -1 & 3 & 2 & | & 1 \end{pmatrix} $ ## Correction de l'Exercice 3 Nous allons utiliser la méthode d'élimination de Gauss pour résoudre le système $(S_3)$. La matrice augmentée du système est : $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ 2 & 3 & -1 & | & 3 \\ 1 & -1 & -2 & | & 0 \end{pmatrix} $ Appliquons les opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir une forme échelonnée. **Étape 1 : Éliminer les termes sous le premier pivot (1ère colonne, 1ère ligne).** * $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ * $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \end{pmatrix} $ **Étape 2 : Éliminer les termes sous le deuxième pivot (2ème colonne, 2ème ligne).** * $L_3 \leftarrow L_3 + 2L_2$ $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} $ La matrice est maintenant sous forme échelonnée. Nous pouvons résoudre le système par substitution arrière. Le système équivalent est : $ \begin{cases} x + y - z = 1 \quad (E_1') \\ y + z = 1 \quad (E_2') \\ z = 1 \quad (E_3') \end{cases} $ De $(E_3')$, nous avons $z = 1$. Substituons $z=1$ dans $(E_2')$ : $y + 1 = 1 \implies y = 0$. Substituons $z=1$ et $y=0$ dans $(E_1')$ : $x + 0 - 1 = 1 \implies x = 2$. La solution unique du système $(S_3)$ est $(x, y, z) = (2, 0, 1)$. > [!theorem] Théorème de Rouché-Fontené (implicite) > Un système linéaire $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ admet des solutions si et seulement si le rang de la matrice des coefficients $A$ est égal au rang de la matrice augmentée $[A | \mathbf{b}]$. > - Si rang($A$) = rang($[A | \mathbf{b}]$) = nombre d'inconnues, la solution est unique. > - Si rang($A$) = rang($[A | \mathbf{b}]$) < nombre d'inconnues, il y a une infinité de solutions. > - Si rang($A$) $\neq$ rang($[A | \mathbf{b}]$), il n'y a pas de solution. > Dans cet exercice, le rang de $A$ est 3 (trois pivots), le rang de $[A|b]$ est 3, et le nombre d'inconnues est 3. Donc, une solution unique. ## Correction de l'Exercice 4 Nous allons résoudre le système $(S_4)$ par la méthode de Gauss. La matrice augmentée est : $ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 & | & 1 \\ 2 & -4 & 3 & 1 & | & 3 \\ -1 & 2 & -2 & 2 & | & -2 \end{pmatrix} $ **Étape 1 : Éliminer sous le premier pivot.** * $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ * $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$ $ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & | & -1 \end{pmatrix} $ **Étape 2 : Éliminer sous le deuxième pivot (qui est maintenant en $L_2, C_3$).** * $L_3 \leftarrow L_3 + L_2$ $ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & | & 0 \end{pmatrix} $ La matrice est sous forme échelonnée. Le système équivalent est : $ \begin{cases} x - 2y + z - w = 1 \quad (E_1') \\ z + 3w = 1 \quad (E_2') \\ 4w = 0 \quad (E_3') \end{cases} $ Nous avons 3 pivots (1, 1, 4) et 4 inconnues ($x, y, z, w$). Cela signifie qu'il y aura des variables libres. Les variables principales (associées aux pivots) sont $x, z, w$. La variable libre est $y$. De $(E_3')$ : $4w = 0 \implies w = 0$. Substituons $w=0$ dans $(E_2')$ : $z + 3(0) = 1 \implies z = 1$. Substituons $w=0$ et $z=1$ dans $(E_1')$ : $x - 2y + 1 - 0 = 1$ $x - 2y + 1 = 1$ $x - 2y = 0 \implies x = 2y$. La variable $y$ est libre. Nous pouvons la paramétrer, par exemple $y = t$ où $t \in \mathbb{R}$. Alors, $x = 2t$. La solution générale est donc : $ \begin{cases} x = 2t \\ y = t \\ z = 1 \\ w = 0 \end{cases} \quad \text{pour tout } t \in \mathbb{R} $ L'ensemble des solutions est infini. Il peut s'écrire sous forme vectorielle : $ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R} $ > [!note] Interprétation de la solution > Le système $(S_4)$ est *compatible* (il admet des solutions) et possède une infinité de solutions, paramétrées par une variable libre. Géométriquement, l'ensemble des solutions est une droite dans $\mathbb{R}^4$. ## Correction de l'Exercice 5 Appliquons la méthode de Gauss au système $(S_5)$. Matrice augmentée : $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 3 & 7 & -2 & | & 10 \\ -2 & -4 & 2 & | & -5 \end{pmatrix} $ **Étape 1 : Éliminer sous le premier pivot.** * $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ * $L_3 \leftarrow L_3 + 2L_1$ $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \end{pmatrix} $ La matrice est sous forme échelonnée. Regardons la dernière ligne : $0x + 0y + 0z = 1$. Cette équation se simplifie en $0 = 1$, ce qui est une contradiction. > [!warning] Système incompatible > Si, lors de l'élimination de Gauss, vous obtenez une ligne de la forme $[0 \ 0 \ \dots \ 0 \ | \ c]$ où $c \neq 0$, alors le système est incompatible et n'admet aucune solution. Puisque nous avons obtenu la ligne $[0 \ 0 \ 0 \ | \ 1]$, le système $(S_5)$ est incompatible. Il n'admet aucune solution. ## Correction de l'Exercice 6 Nous allons discuter le nombre de solutions du système $(S_6)$ en fonction de $a$ en utilisant la méthode de Gauss. Matrice augmentée : $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ 1 & 2 & a & | & 2 \\ 2 & a & 1 & | & 3 \end{pmatrix} $ **Étape 1 : Éliminer sous le premier pivot.** * $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ * $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 1 & a+1 & | & 1 \\ 0 & a-2 & 3 & | & 1 \end{pmatrix} $ **Étape 2 : Éliminer sous le deuxième pivot.** * $L_3 \leftarrow L_3 - (a-2)L_2$ $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 1 & a+1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 3 - (a-2)(a+1) & | & 1 - (a-2) \end{pmatrix} $ Simplifions le terme de la troisième ligne, troisième colonne : $3 - (a-2)(a+1) = 3 - (a^2 + a - 2a - 2) = 3 - (a^2 - a - 2) = -a^2 + a + 5$. Simplifions le terme de la troisième ligne, quatrième colonne : $1 - (a-2) = 1 - a + 2 = 3 - a$. La matrice augmentée devient : $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 1 & a+1 & | & 1 \\ 0 & 0 & -a^2 + a + 5 & | & 3 - a \end{pmatrix} $ Nous devons maintenant analyser la dernière ligne, en fonction de la valeur de $-a^2 + a + 5$. **Cas 1 : Solution unique** Le système admet une solution unique si le dernier pivot est non nul. C'est-à-dire si $-a^2 + a + 5 \neq 0$. Calculons les racines du trinôme $-a^2 + a + 5 = 0$. $\Delta = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(-1)(5) = 1 + 20 = 21$. Les racines sont $a = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2(-1)} = \frac{1 \mp \sqrt{21}}{2}$. Donc, si $a \neq \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$ et $a \neq \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$, le système a une **solution unique**. **Cas 2 : Pas de solution ou infinité de solutions** Ces cas se produisent lorsque le dernier pivot est nul, c'est-à-dire quand $-a^2 + a + 5 = 0$. Cela se produit pour $a_1 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$ et $a_2 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$. * **Sous-cas 2.1 : $a = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$ ou $a = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$** Dans ces cas, le terme $-a^2 + a + 5$ est nul. La dernière ligne de la matrice devient : $[0 \ 0 \ 0 \ | \ 3 - a]$. Nous devons évaluer le terme $3 - a$. * Si $3 - a \neq 0$ (et $-a^2 + a + 5 = 0$), alors la dernière ligne est $[0 \ 0 \ 0 \ | \ \text{non-nul}]$. Cela signifie $0 = \text{non-nul}$, ce qui est une contradiction. Le système n'a **aucune solution**. Vérifions si $3 - a$ peut être nul pour ces valeurs de $a$. $3 - a = 0 \implies a = 3$. Or, $3 \neq \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$ et $3 \neq \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$ (car $\sqrt{21}$ est entre 4 et 5, donc ces valeurs sont environ $-1.79$ et $2.79$). Donc, pour $a = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$ ou $a = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$, le terme $3-a$ est non nul. Par conséquent, pour ces deux valeurs de $a$, le système n'a **aucune solution**. * Si $3 - a = 0$ (et $-a^2 + a + 5 = 0$), alors la dernière ligne est $[0 \ 0 \ 0 \ | \ 0]$. Cela signifie $0 = 0$, ce qui est toujours vrai. Le système aurait alors une infinité de solutions. Cependant, comme nous l'avons vu, $3 - a = 0 \implies a = 3$. Et $a=3$ n'annule pas $-a^2 + a + 5$ (car $-3^2+3+5 = -9+3+5 = -1 \neq 0$). Donc, ce cas (infinité de solutions) ne se produit jamais pour le système $(S_6)$. **Résumé de la discussion :** * Si $a \neq \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$ et $a \neq \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$ : le système $(S_6)$ a une **solution unique**. * Si $a = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$ ou $a = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$ : le système $(S_6)$ n'a **aucune solution**. > [!note] Analyse des rangs > - Si $a \neq \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$, rang($A$) = 3, rang($[A|b]$) = 3, nombre d'inconnues = 3. Solution unique. > - Si $a = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$, rang($A$) = 2, mais rang($[A|b]$) = 3 (car $3-a \neq 0$). Donc rang($A$) $\neq$ rang($[A|b]$). Pas de solution. ## Correction de l'Exercice 7 **1. Modélisation du problème en système linéaire :** Soient $x_1, x_2, x_3$ les nombres d'unités produites par semaine pour les produits $P_1, P_2, P_3$ respectivement. Les contraintes de temps pour chaque machine s'expriment comme suit : * Machine $M_1$ : $1x_1 + 2x_2 + 1x_3 = 100$ * Machine $M_2$ : $2x_1 + 1x_2 + 3x_3 = 150$ * Machine $M_3$ : $1x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 120$ Nous avons le système linéaire suivant : $ (S_7) \quad \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 100 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 150 \\ x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 120 \end{cases} $ **2. Résolution par la méthode de Gauss :** Matrice augmentée : $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 100 \\ 2 & 1 & 3 & | & 150 \\ 1 & 3 & 2 & | & 120 \end{pmatrix} $ **Étape 1 : Éliminer sous le premier pivot.** * $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ * $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 100 \\ 0 & -3 & 1 & | & -50 \\ 0 & 1 & 1 & | & 20 \end{pmatrix} $ **Étape 2 : Échanger $L_2$ et $L_3$ pour avoir un pivot plus simple (facultatif mais pratique).** * $L_2 \leftrightarrow L_3$ $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 100 \\ 0 & 1 & 1 & | & 20 \\ 0 & -3 & 1 & | & -50 \end{pmatrix} $ **Étape 3 : Éliminer sous le deuxième pivot.** * $L_3 \leftarrow L_3 + 3L_2$ $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 100 \\ 0 & 1 & 1 & | & 20 \\ 0 & 0 & 4 & | & 10 \end{pmatrix} $ La matrice est sous forme échelonnée. Le système équivalent est : $ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 100 \\ x_2 + x_3 = 20 \\ 4x_3 = 10 \end{cases} $ Résolution par substitution arrière : De $(E_3')$ : $4x_3 = 10 \implies x_3 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$. Substituons $x_3 = 2.5$ dans $(E_2')$ : $x_2 + 2.5 = 20 \implies x_2 = 20 - 2.5 = 17.5$. Substituons $x_3 = 2.5$ et $x_2 = 17.5$ dans $(E_1')$ : $x_1 + 2(17.5) + 2.5 = 100$ $x_1 + 35 + 2.5 = 100$ $x_1 + 37.5 = 100$ $x_1 = 100 - 37.5 = 62.5$. **3. Conclusion :** La solution est $(x_1, x_2, x_3) = (62.5, 17.5, 2.5)$. L'entreprise doit produire 62.5 unités de $P_1$, 17.5 unités de $P_2$ et 2.5 unités de $P_3$ par semaine pour utiliser toutes les machines à pleine capacité. > [!warning] Valeurs non entières > Dans un problème de production, les quantités doivent souvent être des entiers. Ici, nous obtenons des valeurs décimales. Cela signifie que l'objectif d'utiliser *exactement* toutes les machines à pleine capacité en produisant des quantités entières n'est pas réalisable. Il faudrait alors revoir les objectifs ou accepter des quantités non entières (si les produits peuvent être divisés) ou faire une optimisation discrète (qui est un problème plus complexe que la simple résolution de système linéaire). ## Correction de l'Exercice 8 Nous allons utiliser la méthode de Gauss pour déterminer la compatibilité et les solutions du système $(S_8)$. Matrice augmentée : $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 \\ 2 & -1 & | & 3 \\ 3 & 1 & | & 4 \\ 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix} $ **Étape 1 : Éliminer sous le premier pivot.** * $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ * $L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1$ * $L_4 \leftarrow L_4 - L_1$ $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & -5 & | & 1 \\ 0 & -5 & | & 1 \\ 0 & -1 & | & 1 \end{pmatrix} $ **Étape 2 : Éliminer sous le deuxième pivot ($-5$ en $L_2, C_2$).** * $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ * $L_4 \leftarrow L_4 - \frac{1}{5}L_2$ (ou $L_4 \leftarrow 5L_4 - L_2$ pour éviter les fractions) Utilisons $L_4 \leftarrow 5L_4 - L_2$: $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & -5 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & | & 4 \end{pmatrix} $ La matrice est sous forme échelonnée. Regardons la dernière ligne : $[0 \ 0 \ | \ 4]$. Cela signifie $0x + 0y = 4$, soit $0 = 4$. C'est une contradiction. > [!warning] Incompatibilité > La présence d'une ligne de zéros à gauche de la barre et d'un nombre non nul à droite indique que le système est incompatible. Le système $(S_8)$ est **incompatible** et n'admet **aucune solution**. > [!note] Rang et compatibilité > La matrice des coefficients $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ a un rang de 2 (deux pivots non nuls dans les deux premières colonnes). > La matrice augmentée $[A|b] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & -5 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & | & 4 \end{pmatrix}$ a un rang de 3 (car la dernière ligne $[0 \ 0 \ | \ 4]$ est un pivot). > Puisque rang($A$) = 2 $\neq$ rang($[A|b]$) = 3, le système est incompatible. ## Correction de l'Exercice 9 Nous allons discuter le nombre de solutions du système $(S_9)$ en fonction des paramètres $a$ et $b$ en utilisant la méthode de Gauss. Matrice augmentée : $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 2 & 3 & | & 2 \\ 2 & 3 & a & | & b \end{pmatrix} $ **Étape 1 : Éliminer sous le premier pivot.** * $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ * $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & 1 & a-2 & | & b-2 \end{pmatrix} $ **Étape 2 : Éliminer sous le deuxième pivot.** * $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & 0 & a-2-2 & | & b-2-1 \end{pmatrix} $ Simplifions la troisième ligne : $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & 0 & a-4 & | & b-3 \end{pmatrix} $ Nous devons maintenant analyser la dernière ligne en fonction de $a$ et $b$. **Cas 1 : Solution unique** Le système admet une solution unique si le dernier pivot est non nul. C'est-à-dire si $a-4 \neq 0 \implies a \neq 4$. Dans ce cas, le rang de la matrice des coefficients est 3 (trois pivots), le rang de la matrice augmentée est 3, et il y a 3 inconnues. Le système a une **solution unique** pour tout $b \in \mathbb{R}$. **Cas 2 : Le dernier pivot est nul** Ceci se produit lorsque $a-4 = 0 \implies a = 4$. La dernière ligne de la matrice augmentée devient : $[0 \ 0 \ 0 \ | \ b-3]$. Nous devons alors analyser la valeur de $b-3$. * **Sous-cas 2.1 : $a=4$ et $b-3 \neq 0 \implies b \neq 3$** La dernière ligne est $[0 \ 0 \ 0 \ | \ \text{non-nul}]$. Cela signifie $0 = \text{non-nul}$, ce qui est une contradiction. Dans ce cas, le système n'a **aucune solution**. > [!example] Exemple pour ce cas > Si $a=4$ et $b=5$, la dernière ligne est $[0 \ 0 \ 0 \ | \ 2]$, ce qui est impossible. * **Sous-cas 2.2 : $a=4$ et $b-3 = 0 \implies b = 3$** La dernière ligne est $[0 \ 0 \ 0 \ | \ 0]$. Cela signifie $0 = 0$, ce qui est toujours vrai. Cette ligne ne fournit aucune information supplémentaire et n'introduit pas de contradiction. Le système équivalent est alors : $ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ y + 2z = 1 \end{cases} $ Nous avons 2 pivots (1, 1) et 3 inconnues ($x, y, z$). Il y a $3-2=1$ variable libre. Choisissons $z$ comme variable libre, $z = t$ pour $t \in \mathbb{R}$. De la deuxième équation : $y + 2t = 1 \implies y = 1 - 2t$. De la première équation : $x + (1 - 2t) + t = 1 \implies x + 1 - t = 1 \implies x = t$. La solution générale est : $ \begin{cases} x = t \\ y = 1 - 2t \\ z = t \end{cases} \quad \text{pour tout } t \in \mathbb{R} $ Dans ce cas, le système a une **infinité de solutions**. > [!example] Exemple pour ce cas > Si $a=4$ et $b=3$, la solution est $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$. **Résumé de la discussion :** * Si $a \neq 4$ : le système $(S_9)$ a une **solution unique**. * Si $a = 4$ et $b \neq 3$ : le système $(S_9)$ n'a **aucune solution**. * Si $a = 4$ et $b = 3$ : le système $(S_9)$ a une **infinité de solutions**. ## Correction de l'Exercice 10 Pour déterminer si le vecteur $w$ est une combinaison linéaire de $v_1, v_2, v_3$, nous devons chercher s'il existe des scalaires $c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R}$ tels que : $c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = w$. En termes de vecteurs colonnes, cela s'écrit : $ c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -7 \end{pmatrix} $ Ceci conduit au système d'équations linéaires suivant : $ (S_{10}) \quad \begin{cases} 1c_1 + 0c_2 + 1c_3 = 2 \\ 2c_1 + 1c_2 + 0c_3 = 1 \\ -1c_1 + 1c_2 - 3c_3 = -7 \end{cases} $ Nous allons résoudre ce système en utilisant la méthode de Gauss. Matrice augmentée : $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 2 \\ 2 & 1 & 0 & | & 1 \\ -1 & 1 & -3 & | & -7 \end{pmatrix} $ **Étape 1 : Éliminer sous le premier pivot.** * $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ * $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$ $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & -2 & | & -3 \\ 0 & 1 & -2 & | & -5 \end{pmatrix} $ **Étape 2 : Éliminer sous le deuxième pivot.** * $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & -2 & | & -3 \\ 0 & 0 & 0 & | & -2 \end{pmatrix} $ La matrice est sous forme échelonnée. La dernière ligne est $[0 \ 0 \ 0 \ | \ -2]$. Cela signifie $0c_1 + 0c_2 + 0c_3 = -2$, soit $0 = -2$. Ceci est une contradiction. > [!conclusion] Non-combinaison linéaire > Puisque le système linéaire n'admet aucune solution, cela signifie qu'il n'existe pas de scalaires $c_1, c_2, c_3$ tels que $c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = w$. > Par conséquent, le vecteur $w$ **n'est pas une combinaison linéaire** des vecteurs $v_1, v_2, v_3$. # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `05-Octobre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]