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Le système $(S_1)$ est-il linéaire ? Justifiez votre réponse. 2. Résolvez le système $(S_1)$ par la méthode de votre choix (substitution ou combinaison linéaire). 3. Interprétez géométriquement la solution trouvée. ## Exercice 2 Pour chacun des cas suivants, indiquez si l'équation est linéaire ou non : 1. $3x - 2y + z = 0$ 2. $x^2 + y = 5$ 3. $xy - z = 1$ 4. $\sqrt{2}x + \pi y - \frac{1}{2}z = 10$ ## Exercice 3 Résolvez le système linéaire suivant en utilisant la méthode d'élimination de Gauss : $ (S_2) \quad \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + 3y - z = 3 \\ x - y - 2z = 0 \end{cases} $ ## Exercice 4 Résolvez le système linéaire suivant par la méthode de Gauss. Discutez la nature de l'ensemble des solutions. $ (S_3) \quad \begin{cases} x - 2y + z - w = 1 \\ 2x - 4y + 3z + w = 3 \\ -x + 2y - 2z + 2w = -2 \end{cases} $ ## Exercice 5 Appliquez la méthode de Gauss pour déterminer si le système suivant admet des solutions. Si oui, donnez-les. $ (S_4) \quad \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 3x + 7y - 2z = 10 \\ -2x - 4y + 2z = -5 \end{cases} $ ## Exercice 6 Soit le système linéaire $(S_5)$ dépendant d'un paramètre $a \in \mathbb{R}$ : $ (S_5) \quad \begin{cases} x + y - z = 1 \\ x + 2y + az = 2 \\ 2x + ay + z = 3 \end{cases} $ Discutez, en fonction des valeurs de $a$, le nombre de solutions du système $(S_5)$. ## Exercice 7 Une entreprise fabrique trois types de produits $P_1, P_2, P_3$ en utilisant trois machines $M_1, M_2, M_3$. Le temps (en heures) requis par chaque machine pour fabriquer une unité de chaque produit est donné par le tableau suivant : | Produit | $M_1$ | $M_2$ | $M_3$ | | :------ | :---- | :---- | :---- | | $P_1$ | 1 | 2 | 1 | | $P_2$ | 2 | 1 | 3 | | $P_3$ | 1 | 3 | 2 | Les machines $M_1, M_2, M_3$ sont disponibles respectivement 100, 150 et 120 heures par semaine. L'entreprise souhaite utiliser toutes les machines à pleine capacité. Déterminez le nombre d'unités de chaque produit ($x_1, x_2, x_3$ pour $P_1, P_2, P_3$ respectivement) que l'entreprise doit produire par semaine pour atteindre cet objectif. ## Exercice 8 Considérons le système linéaire suivant avec plus d'équations que d'inconnues : $ (S_6) \quad \begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x - y = 3 \\ 3x + y = 4 \\ x + y = 2 \end{cases} $ Déterminez si ce système est compatible (admet une solution) et, si oui, trouvez toutes les solutions. ## Exercice 9 Soient les vecteurs $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}$ dans $\mathbb{R}^3$. Le vecteur $w = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -7 \end{pmatrix}$ est-il une combinaison linéaire de $v_1, v_2, v_3$ ? Si oui, donnez cette expression. *Indice : cela revient à écrire $w$ sous la forme $c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3$ où $c_1,c_2$ et $c_3$ sont des constantes.* # Corrigés Détaillés ## Exercice 1 1. **Le système $(S_1)$ est-il linéaire ?** Oui, le système $(S_1)$ est linéaire. Chaque équation est de la forme $ax + by = c$, où $x$ et $y$ sont les variables de puissance 1, et il n'y a pas de produits de variables ($xy$), de puissances supérieures ($x^2$), ou de fonctions non linéaires (comme $\sin(x)$ ou $\ln(y)$). 2. **Résolution du système $(S_1)$ :** Nous allons utiliser la méthode de substitution. De la première équation : $2x - y = 3 \implies y = 2x - 3$. Substituons cette expression de $y$ dans la deuxième équation : $x + 3(2x - 3) = 5$ $x + 6x - 9 = 5$ $7x = 14$ $x = 2$ Maintenant, substituons $x=2$ dans l'expression de $y$ : $y = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$. La solution du système est donc $(x, y) = (2, 1)$. 3. **Interprétation géométrique :** Chaque équation linéaire à deux variables, $ax + by = c$, représente une droite dans le plan cartésien $\mathbb{R}^2$. La solution du système, $(x, y) = (2, 1)$, représente le point d'intersection unique de ces deux droites dans le plan. ## Exercice 2 1. $3x - 2y + z = 0$ : **Linéaire**. Toutes les variables sont à la puissance 1, pas de produits. 2. $x^2 + y = 5$ : **Non linéaire**. La variable $x$ est élevée à la puissance 2. 3. $xy - z = 1$ : **Non linéaire**. Il y a un produit de variables ($xy$). 4. $\sqrt{2}x + \pi y - \frac{1}{2}z = 10$ : **Linéaire**. Les coefficients peuvent être des nombres réels quelconques ; les variables sont à la puissance 1. ## Exercice 3 Nous allons utiliser la méthode d'élimination de Gauss pour résoudre le système $(S_2)$. **1. Phase d'élimination** Appliquons les opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir une forme échelonnée. **Étape 1 : Éliminer les termes sous le premier pivot (1ère colonne, 1ère ligne) .** * $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ * $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ $ \begin{cases} x & +y & -z & = & 1 \\ & +y & +z & = & 1 \\ & -2y & -z & = & -1 \end{cases} $ **Étape 2 : Éliminer les termes sous le deuxième pivot (2ème colonne, 2ème ligne).** * $L_3 \leftarrow L_3 + 2L_2$ $ \begin{cases} x & +y & -z & = & 1 \quad (E_1')\\ & +y & +z & = & 1 \quad (E_2')\\ & & +z & = & 1 \quad (E_3')\end{cases} $ Le système est maintenant sous forme échelonnée. **2. Phase de substitution arrière** Nous pouvons résoudre le système par substitution arrière. De $(E_3')$, nous avons $z = 1$. Substituons $z=1$ dans $(E_2')$ : $y + 1 = 1 \implies y = 0$. Substituons $z=1$ et $y=0$ dans $(E_1')$ : $x + 0 - 1 = 1 \implies x = 2$. La solution unique du système $(S_2)$ est $(x, y, z) = (2, 0, 1)$. ## Exercice 4 Nous allons résoudre le système $(S_3)$ par la méthode de Gauss. **1. Phase d'élimination** **Étape 1 : Éliminer sous le premier pivot.** * $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ * $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$ $ \begin{cases} x & -2y & +z & -w & = & 1 \\ & & +z & +3w & = & 1 \\ & & -z & +w & = & -1 \end{cases} $ **Étape 2 : Éliminer sous le deuxième pivot (qui est maintenant en $L_2, C_3$).** * $L_3 \leftarrow L_3 + L_2$ $ \begin{cases} x & -2y & +z & -w & = & 1 \quad (E_1')\\ & & +z & +3w & = & 1 \quad (E_2')\\ & & & +4w & = & 0 \quad (E_3')\end{cases} $ Le système est sous forme échelonnée. Nous avons 3 pivots (1, 1, 4) et 4 inconnues ($x, y, z, w$). Cela signifie qu'il y aura des variables libres. Les variables principales (associées aux pivots) sont $x, z, w$. La variable libre est $y$. **2. Phase de substitution arrière** De $(E_3')$ : $4w = 0 \implies w = 0$. Substituons $w=0$ dans $(E_2')$ : $z + 3(0) = 1 \implies z = 1$. Substituons $w=0$ et $z=1$ dans $(E_1')$ : $x - 2y + 1 - 0 = 1$ $x - 2y + 1 = 1$ $x - 2y = 0 \implies x = 2y$. La variable $y$ est libre. Nous pouvons la paramétrer, par exemple $y = t$ où $t \in \mathbb{R}$. Alors, $x = 2t$. La solution générale est donc : $ \begin{cases} x = 2t \\ y = t \\ z = 1 \\ w = 0 \end{cases} \quad \text{pour tout } t \in \mathbb{R} $ L'ensemble des solutions est infini. Il peut s'écrire sous forme vectorielle : $ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R} $ ## Exercice 5 Appliquons la méthode de Gauss au système $(S_4)$. **1. Phase d'élimination** **Étape 1 : Éliminer sous le premier pivot.** * $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ * $L_3 \leftarrow L_3 + 2L_1$ $ \begin{cases} x & +2y & -z & = & 3 \\ & +y & +z & = & 1 \\ & & 0 & = & 1 \end{cases} $ Le système est sous forme échelonnée. Regardons la dernière ligne : $0 = 1$ Cette équation implique une contradiction. > [!warning] Système incompatible > Si, lors de l'élimination de Gauss, vous obtenez une ligne de la forme $[0 = \ c]$ où $c \neq 0$, alors le système est incompatible et n'admet aucune solution. Le système $(S_4)$ est incompatible. Il n'admet aucune solution. ## Exercice 6 Nous allons discuter le nombre de solutions du système $(S_5)$ en fonction de $a$ en utilisant la méthode de Gauss. **Étape 1 : Éliminer sous le premier pivot.** * $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ * $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ $ \begin{cases} x & +y & -z & = & 1 \\ & +y &+(a+1)z & = & 1 \\ & +(a-2)y & +3 & = & 1 \end{cases} $ **Étape 2 : Éliminer sous le deuxième pivot.** * $L_3 \leftarrow L_3 - (a-2)L_2$ $ \begin{cases} x & +y & -z & = & 1 \\ & +y & +(a+1)z & = & 1 \\ & & (3 - (a-2)(a+1))z & = & 1 - (a-2) \end{cases} $ Simplifions le terme de la troisième ligne, avant l'égalité : $3 - (a-2)(a+1) = 3 - (a^2 + a - 2a - 2) = 3 - (a^2 - a - 2) = -a^2 + a + 5$. Simplifions le terme de la troisième ligne, après l'égalité : $1 - (a-2) = 1 - a + 2 = 3 - a$. La forme augmentée devient : $ \begin{cases} x & +y & -z & = & 1 \\ & +y & +(a+1)z & = & 1 \\ & & +(-a^2 + a + 5)z & = & 3 - a \end{cases} $ Nous devons maintenant analyser la dernière ligne, en fonction de la valeur de $-a^2 + a + 5$. **Cas 1 : Solution unique** Le système admet une solution unique si le dernier pivot est non nul. C'est-à-dire si $-a^2 + a + 5 \neq 0$. Calculons les racines du trinôme $-a^2 + a + 5 = 0$. $\Delta = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(-1)(5) = 1 + 20 = 21$. Les racines sont $a = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2(-1)} = \frac{1 \mp \sqrt{21}}{2}$. Donc, si $a \neq \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$ et $a \neq \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$, le système a une **solution unique**. **Cas 2 : Pas de solution ou infinité de solutions** Ces cas se produisent lorsque le dernier pivot est nul, c'est-à-dire quand $-a^2 + a + 5 = 0$. Cela se produit pour $a_1 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$ et $a_2 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$. Dans ces cas, la dernière ligne du système devient : $[0= \ 3 - a]$. Nous devons évaluer le terme $3 - a$. Pour les deux valeurs $a_1$ et $a_2$, l'expression $3-a$ est non nulle. Alors la dernière ligne est $[0 \ = \ \text{non-nul}]$ ce qui est une contradiction. Le système n'a **aucune solution**. **Résumé :** * Si $a \neq \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$ et $a \neq \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$ : le système $(S_5)$ a une **solution unique**. * Si $a = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$ ou $a = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$ : le système $(S_5)$ n'a **aucune solution**. > [!note] Analyse des rangs > - Si $a \neq \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$, $r= 3 = n$. Solution unique. > - Si $a = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$, $r=1<n=3$ et une absurdité. Pas de solution. ## Exercice 7 **Modélisation du problème en système linéaire :** Soient $x_1, x_2, x_3$ les nombres d'unités produites par semaine pour les produits $P_1, P_2, P_3$ respectivement. Les contraintes de temps pour chaque machine s'expriment comme suit : * Machine $M_1$ : $1x_1 + 2x_2 + 1x_3 = 100$ * Machine $M_2$ : $2x_1 + 1x_2 + 3x_3 = 150$ * Machine $M_3$ : $1x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 120$ Nous avons le système linéaire suivant : $ (S_7) \quad \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 100 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 150 \\ x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 120 \end{cases} $ **Résolution par la méthode de Gauss :** Après échelonnement, le système équivalent est : $ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 100 \quad (E_1')\\ x_2 + x_3 = 20 \quad (E_2')\\ 4x_3 = 10 \quad (E_3')\end{cases} $ Résolution par substitution arrière : De $(E_3')$ : $4x_3 = 10 \implies x_3 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$. Substituons $x_3 = 2.5$ dans $(E_2')$ : $x_2 + 2.5 = 20 \implies x_2 = 20 - 2.5 = 17.5$. Substituons $x_3 = 2.5$ et $x_2 = 17.5$ dans $(E_1')$ : $x_1 + 2(17.5) + 2.5 = 100$ $x_1 + 35 + 2.5 = 100$ $x_1 + 37.5 = 100$ $x_1 = 100 - 37.5 = 62.5$. La solution est $(x_1, x_2, x_3) = (62.5, 17.5, 2.5)$. L'entreprise doit produire 62.5 unités de $P_1$, 17.5 unités de $P_2$ et 2.5 unités de $P_3$ par semaine pour utiliser toutes les machines à pleine capacité. > [!warning] Valeurs non entières > Dans un problème de production, les quantités doivent souvent être des entiers. Ici, nous obtenons des valeurs décimales. Cela signifie que l'objectif d'utiliser *exactement* toutes les machines à pleine capacité en produisant des quantités entières n'est pas réalisable. Il faudrait alors revoir les objectifs ou accepter des quantités non entières (si les produits peuvent être divisés) ou faire une optimisation discrète (qui est un problème plus complexe que la simple résolution de système linéaire). ## Exercice 8 Nous allons utiliser la méthode de Gauss pour déterminer la compatibilité et les solutions du système $(S_6)$. **Étape 1 : Éliminer sous le premier pivot.** * $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ * $L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1$ * $L_4 \leftarrow L_4 - L_1$ $ \begin{cases} x & +2y & = & 1 \\ & -5y & = & 1 \\ & -5y & = & 1 \\ & -y & = & 1 \end{cases} $ **Étape 2 : Éliminer sous le deuxième pivot ($-5$ en $L_2, C_2$).** * $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ * $L_4 \leftarrow L_4 - \frac{1}{5}L_2$ (ou $L_4 \leftarrow 5L_4 - L_2$ pour éviter les fractions) Utilisons $L_4 \leftarrow 5L_4 - L_2$: $ \begin{cases} x & +2y & = & 1 \\ & -5y & = & 1 \\ & 0 & = & 0 \\ & 0 & = & 4 \end{cases} $ Le système est sous forme échelonnée. Regardons la dernière ligne : $[0 = \ 4]$. C'est une contradiction. > [!warning] Incompatibilité > La présence d'une ligne de zéros à gauche de l'égalité et d'un nombre non nul à droite indique que le système est incompatible. Le système $(S_6)$ est **incompatible** et n'admet **aucune solution**. ## Exercice 9 Pour déterminer si le vecteur $w$ est une combinaison linéaire de $v_1, v_2, v_3$, nous devons chercher s'il existe des scalaires $c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R}$ tels que : $c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = w$. En termes de vecteurs colonnes, cela s'écrit : $ c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -7 \end{pmatrix} $ Ceci conduit au système d'équations linéaires suivant : $ (S_8) \quad \begin{cases} 1c_1 + 0c_2 + 1c_3 = 2 \\ 2c_1 + 1c_2 + 0c_3 = 1 \\ -1c_1 + 1c_2 - 3c_3 = -7 \end{cases} $ Nous allons résoudre ce système en utilisant la méthode de Gauss. **Étape 1 : Éliminer sous le premier pivot.** * $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ * $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$ $ \begin{cases} c_1 & +0c_2 & +c_3 & = & 2 \\ & +c_2 & -2c_3 & = & -3 \\ & +c_2 & -2c_3 & = & -5 \end{cases} $ **Étape 2 : Éliminer sous le deuxième pivot.** * $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ $ \begin{cases} c_1 & +0c_2 & +c_3 & = & 2 \\ & +c_2 & -2c_3 & = & -3 \\ & & 0 & = & -2 \end{cases} $ Le système est sous forme échelonnée. La dernière ligne est $[0 =\ -2]$. Ceci est une contradiction. **Conclusion :** Puisque le système linéaire n'admet aucune solution, cela signifie qu'il n'existe pas de scalaires $c_1, c_2, c_3$ tels que $c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = w$. Par conséquent, le vecteur $w$ **n'est pas une combinaison linéaire** des vecteurs $v_1, v_2, v_3$. ---- # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `08-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Systèmes d'équations linéaires|Accueil · Systèmes d'équations linéaires]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Systèmes d'équations linéaires/Cours 2 - Systèmes d'équations linéaires\|← Cours 2 - Systèmes d'équations linéaires]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %%