%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Théorie des ensembles/Théorie des ensembles|Accueil · Théorie des ensembles]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Théorie des ensembles/Cours 2 - Théorie des ensembles\|← Cours 2 - Théorie des ensembles]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %% > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Théorie des ensembles/Théorie des ensembles|Théorie des ensembles]] # Exercices ## Exercice 1 Classer les nombres suivants dans le plus petit ensemble ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$) auquel ils appartiennent : $-7$ ; $42$ ; $\frac{9}{4}$ ; $\sqrt{9}$ ; $-2.5$;$-3$ ; $9$; $2\pi+1$ ; $-1.5$ ; $e$ ; $\sqrt{5}$ ; $\frac{9}{3}$ ## Exercice 2 Soit $I=]-2,3]$. 1. Dire si les nombres suivants appartiennent à $I$ : $-2,\quad -1.5, \quad 3, \quad 3.1$ 2. Donner un exemple d'un rationnel et d'un irrationnel dans $I$. ## Exercice 3 Déterminer le supremum, infimum, maximum et minimum des intervalles suivants : $[1;2] \quad ]1;2] \quad [1;2[ \quad ]1;2[ \quad [1;+\infty[ \quad ]-\infty;2]$ ## Exercice 4 On considère les ensembles $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ et $A = \{1, 3, 5\}$. **1. Indiquer pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse :** a) $1 \in E$ b) $\{1\} \in E$ c) $\{1\} \subset E$ d) $1 \subset E$ **2. Indiquer pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse :** a) $A \in E$ b) $A \subset E$ c) $A \subset \mathcal{P}(E)$ d) $A \in \mathcal{P}(E)$ e) $\{A\} \subset \mathcal{P}(E)$ **3. Indiquer pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse :** a) $\{1, 2\} \in \mathcal{P}(E)$ b) $\{1, 2\} \subset \mathcal{P}(E)$ c) $\{\{1, 2\}\} \in \mathcal{P}(E)$ d) $\emptyset \in A$ e) $\emptyset \subset A$ f) $\emptyset\in \mathcal{P}(E)$ ## Exercice 5 On considère les ensembles $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $A = \{1, 3, 5\}$ et $B = \{2, 3\}$. Déterminer les ensembles suivants : $\bar{A}$, $B \setminus A$, $A \setminus B$, $A \cap B$, $A \cup B$, $\bar{A} \cap B$, $\bar{A} \cup B$, $\mathcal{P}(A)$, $A\times B$, $B^2$. ## Exercice 6 **1. Déterminer le complémentaire dans $\mathbb{R}$ des parties suivantes :** - $A_1 = ]-\infty, 0]$ - $A_2 = ]-\infty, 0[$ - $A_3 = ]0, +\infty[$ - $A_4 = [0, +\infty[$ - $A_5 = ]1, 2[$ - $A_6 = [1, 2]$ **2. Soient $A = ]-\infty, 1[ \cup [2, +\infty[$, $B = ]-\infty, 1[$ et $C = [2, +\infty[$.** Comparer les ensembles : $\complement_{\mathbb{R}} A$ et $\complement_{\mathbb{R}} B \cap \complement_{\mathbb{R}} C$. ## Exercice 7 On considère les ensembles $E = ]-\infty, 10]$, $A = [-8, 2[$, $B = ]0, 5[$ et $C = [4, 8[$. Déterminer les ensembles suivants : $\bar{A}$, $B \setminus C$, $A \cap B$, $A \cup B$, $\bar{A} \cap B$, $\bar{A} \cap (B \cup C)$, $A \cap B \cap C$ et $\bar{C} \cup (A \cap B)$. ## Exercice 8 La Société Maigrir Sans Effort fait passer une visite médicale à ses 60 employés. Voici les résultats : * 35 sont obèses (O) * 30 sont hypertendus (H) * 25 ont un taux de cholestérol trop élevé (C) * 10 sont obèses et hypertendus ($O \cap H$) * 15 sont hypertendus et ont trop de cholestérol ($H \cap C$) * 12 sont obèses et ont trop de cholestérol ($O \cap C$) * 5 ont les trois problèmes à la fois ($O \cap H \cap C$) En utilisant la formule d'inclusion-exclusion, calculer le nombre d'employés qui n'ont **aucun** de ces problèmes. # Corrigés détaillés ## Exercice 1 - $-7 \in \mathbb{Z}$ - $42 \in \mathbb{N}$ - $\frac{9}{4} \in \mathbb{Q}$ - $\sqrt{9} = 3 \Rightarrow 3 \in \mathbb{N}$ - $-2.5 = -\frac{5}{2} \in \mathbb{Q}$ - $-3 \in \mathbb{Z}$ - $9 \in \mathbb{N}$ - $2\pi + 1 \in \mathbb{R}$ - $-1.5 = -\frac{3}{2} \in \mathbb{Q}$ - $e \in \mathbb{R}$ - $\sqrt{5} \in \mathbb{R}$ - $\frac{9}{3} = 3 \Rightarrow 3 \in \mathbb{N}$ ## Exercice 2 1. Parmi les nombres cités, les éléments de $I$ sont $-1.5$ et $3$. Les nombres $-2$ et $3.1$ n'appartiennent pas à $I$. 2. Exemples de rationnels dans $I$ : $\frac{3}{2}$, $2$, $\sqrt{4}$, $\ldots$ Exemples d'irrationnels dans $I$ : $\sqrt{2}$, $\frac{\pi}{2}$, $\ldots$ ## Exercice 3 > [!warning] Attention > - Le supremum et l’infimum existent **toujours** (pour un intervalle borné)  > - Le minimum et le maximum existent seulement si les bornes **appartiennent à l’ensemble** | Intervalle | inf | sup | min | max | | ------------- | --------- | --------- | --- | --- | | $[1,2]$ | 1 | 2 | 1 | 2 | | $]1,2]$ | 1 | 2 | ❌ | 2 | | $[1,2[$ | 1 | 2 | 1 | ❌ | | $]1,2[$ | 1 | 2 | ❌ | ❌ | | $[1,+\infty[$ | 1 | $+\infty$ | 1 | ❌ | | $]-\infty,2]$ | $-\infty$ | 2 | ❌ | 2 | ## Exercice 4 **1.** - a) **Vrai** (1 est un élément de l'ensemble). - b) **Faux** (L'ensemble $\{1\}$ n'est pas un élément de $E$, seulement le nombre 1). - c) **Vrai** (L'ensemble contenant 1 est bien une partie de $E$). - d) **Faux** (Le symbole $\subset$ relie deux ensembles, pas un élément à un ensemble). **2.** - a) **Faux** ($A$ est un sous-ensemble, pas un élément direct). - b) **Vrai** (Tous les éléments de $A$ sont dans $E$). - c) **Faux** (Les éléments de $A$ sont des nombres, pas des ensembles). - d) **Vrai** (Par définition, l'ensemble des parties contient tous les sous-ensembles). - e) **Vrai** (L'ensemble contenant $A$ est un sous-ensemble de l'ensemble des parties). **3.** - a) **Vrai** ($\{1, 2\}$ est un sous-ensemble de $E$). - b) **Faux** (C'est un élément de $\mathcal{P}(E)$, pas un sous-ensemble). - c) **Faux**. - d) **Faux** (L'ensemble vide n'est pas une valeur présente dans $A=\{1, 3, 5\}$). - e) **Vrai** (L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble). - f) **Vrai** (L'ensemble vide est un élément de $\mathcal{P}(E)$). ## Exercice 5 - $\bar{A} = \{2, 4, 6\}$ - $B \setminus A = \{2\}$ - $A \setminus B = \{1, 5\}$ - $A \cap B = \{3\}$ - $A \cup B = \{1, 2, 3, 5\}$ - $\bar{A} \cap B = \{2\}$ - $\bar{A} \cup B = \{2, 3, 4, 6\}$ - $\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{3\}, \{5\}, \{1, 3\}, \{1, 5\}, \{3, 5\}, \{1, 3, 5\}\}$ - $A\times B=\{(1,2),(1,3),(3,2),(3,3),(5,2),(5,3)\}$ - $B^2=B\times B=\{(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)\}$ ## Exercice 6 **1. Déterminer le complémentaire dans $\mathbb{R}$ des parties suivantes :** - $A_1 = ]-\infty, 0] \implies \complement_{\mathbb{R}} A_1 = ]0, +\infty[$ - $A_2 = ]-\infty, 0[ \implies \complement_{\mathbb{R}} A_2 = [0, +\infty[$ - $A_3 = ]0, +\infty[ \implies \complement_{\mathbb{R}} A_3 = ]-\infty, 0]$ - $A_4 = [0, +\infty[ \implies \complement_{\mathbb{R}} A_4 = ]-\infty, 0[$ - $A_5 = ]1, 2[ \implies \complement_{\mathbb{R}} A_5 = ]-\infty, 1] \cup [2, +\infty[$ - $A_6 = [1, 2] \implies \complement_{\mathbb{R}} A_6 = ]-\infty, 1[ \cup ]2, +\infty[$ **2. Soient $A = ]-\infty, 1[ \cup [2, +\infty[$, $B = ]-\infty, 1[$ et $C = [2, +\infty[$.** Comparer les ensembles : $\complement_{\mathbb{R}} A$ et $\complement_{\mathbb{R}} B \cap \complement_{\mathbb{R}} C$. - $\complement_{\mathbb{R}} A = [1, 2[$ - $\complement_{\mathbb{R}} B = [1, +\infty[$ - $\complement_{\mathbb{R}} C = ]-\infty, 2[$ - $\complement_{\mathbb{R}} B \cap \complement_{\mathbb{R}} C = [1, +\infty[ \cap ]-\infty, 2[ = [1, 2[$ **Conclusion :** Ils sont égaux. C'est l'application des lois de De Morgan : $\complement(B \cup C) = \complement B \cap \complement C$. ## Exercice 7 *(On travaille ici dans le référentiel $E = ]-\infty, 10]$)* - $\bar{A} = ]-\infty, -8[ \cup [2, 10]$ - $B \setminus C = ]0, 4[$ - $A \cap B = ]0, 2[$ - $A \cup B = [-8, 5[$ - $\bar{A} \cap B = [2, 5[$ - $B \cup C = ]0, 8[ \implies \bar{A} \cap (B \cup C) = [2, 8[$ - $A \cap B \cap C = \emptyset$ (car $A \cap B = ]0, 2[$ et $C$ commence à 4) - $\bar{C} = ]-\infty, 4[ \cup [8, 10] \implies \bar{C} \cup (A \cap B) = ]-\infty, 4[ \cup [8, 10]$ (car $A \cap B$ est déjà dans $]-\infty, 4[$) ## Exercice 8 On cherche $\text{card}(\overline{O \cup H \cup C})$. C'est le nombre total d'employés moins ceux qui ont au moins un problème, i.e. $60 - \text{card}(O \cup H \cup C)$. D'après la formule du crible pour 3 ensembles :$\text{card}(O \cup H \cup C) = \text{card}(O) + \text{card}(H) + \text{card}(C) - [\text{card}(O \cap H) + \text{card}(H \cap C) + \text{card}(O \cap C)] + \text{card}(O \cap H \cap C)$\text{card}(O \cup H \cup C) = 35 + 30 + 25 - [10 + 15 + 12] + 5$ $\text{card}(O \cup H \cup C) = 90 - 37 + 5 = 58$. Il y a 58 employés avec au moins un problème. Le nombre d'employés sans aucun problème est donc $60 - 58 = 2$. ---- # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] - Dernière MAJ: `26-juin-2026` %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Théorie des ensembles/Théorie des ensembles|Accueil · Théorie des ensembles]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Théorie des ensembles/Cours 2 - Théorie des ensembles\|← Cours 2 - Théorie des ensembles]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %%