# Trigonométrie: une introduction > Page d'accueil de la compétence: [[Trigonométrie]] >[!tip] Tags > #Sin #Cos #Tan #TriangleRectângle #CercleTrigonométrique > [!note] Fil directeur > Ce chapitre introductif à la trigonométrie a pour but de vous familiariser avec les concepts fondamentaux qui sont à la base de nombreuses applications en sciences de l'ingénieur. >[!example] Contenu de ce cours > - Définir et calculer les rapports trigonométriques (sinus, cosinus, tangente) dans un triangle rectangle. > - Appliquer les relations fondamentales de la trigonométrie. > - Connaître les valeurs des rapports trigonométriques pour les angles remarquables. > - Utiliser la trigonométrie pour résoudre des problèmes simples impliquant des triangles rectangles. > - Comprendre l'extension des concepts trigonométriques au cercle unitaire. > Ressource complémentaire: > - [Cours 1](https://hamiltonrmat.github.io/mdslides/Trigonometrie1.html) > - [Cours 2](https://hamiltonrmat.github.io/mdslides/Trigonometrie2.html) # Pourquoi la Trigonométrie ? La trigonométrie, du grec "trigonon" (triangle) et "metron" (mesure), est littéralement la "mesure des triangles". Née de la nécessité de résoudre des problèmes d'astronomie et de navigation dans l'Antiquité, elle est devenue un outil mathématique indispensable dans presque tous les domaines de l'ingénierie moderne. Que vous travailliez en physique (mécanique, optique, ondes), en génie électrique (courants alternatifs, signaux), en informatique (graphisme 3D, traitement d'images), en robotique ou en génie civil, les concepts trigonométriques sont omniprésents. Ils permettent de modéliser des phénomènes périodiques, de calculer des distances inaccessibles, de décrire des rotations et des oscillations, et bien plus encore. Ce chapitre posera les bases solides nécessaires pour aborder des notions plus avancées, notamment l'étude des fonctions trigonométriques et leurs applications aux systèmes dynamiques et à l'analyse de Fourier. # Le Triangle Rectangle et les Rapports Trigonométriques Le point de départ de la trigonométrie est le triangle rectangle. > [!definition] Triangle Rectangle > Un **triangle rectangle** est un triangle qui possède un angle droit (mesurant 90 degrés ou $\pi/2$ radians). Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'**hypoténuse**, et c'est toujours le plus long côté du triangle. Les deux autres côtés sont appelés les **côtés de l'angle droit** ou **cathètes**. Considérons un triangle rectangle $ABC$, avec l'angle droit en $C$. Soit $\theta$ l'angle aigu au sommet $A$. ![[triangle rect.png]] Dans ce triangle : * Le côté $AB$ est l'**hypoténuse**. * Le côté $BC$ est le côté **opposé** à l'angle $\theta$. * Le côté $AC$ est le côté **adjacent** à l'angle $\theta$. Les rapports trigonométriques sont des rapports entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Pour un angle aigu $\theta$ donné, ces rapports sont constants, quelle que soit la taille du triangle. > [!definition] Sinus (sin) > Le **sinus** d'un angle aigu $\theta$ dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté **opposé** à $\theta$ et la longueur de l'**hypoténuse**. > $ \sin(\theta) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Hypoténuse}} $ > Dans notre exemple : $\sin(\theta) = \frac{BC}{AB}$. > [!definition] Cosinus (cos) > Le **cosinus** d'un angle aigu $\theta$ dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté **adjacent** à $\theta$ et la longueur de l'**hypoténuse**. > $ \cos(\theta) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}} $ > Dans notre exemple : $\cos(\theta) = \frac{AC}{AB}$. > [!definition] Tangente (tan) > La **tangente** d'un angle aigu $\theta$ dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté **opposé** à $\theta$ et la longueur du côté **adjacent** à $\theta$. > $ \tan(\theta) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Côté adjacent}} $ > Dans notre exemple : $\tan(\theta) = \frac{BC}{AC}$. > [!note] Unités d'angle > Traditionnellement, les angles sont mesurés en **degrés** (symbole $^\circ$). Un cercle complet mesure 360 degrés. > En mathématiques supérieures et en sciences de l'ingénieur, l'unité de mesure privilégiée est le **radian**. Un cercle complet mesure $2\pi$ radians. Nous aborderons les radians plus en détail ultérieurement, mais il est important de savoir que la plupart des calculatrices et logiciels scientifiques travaillent par défaut en radians. > [!example]- Calcul des rapports trigonométriques > Soit un triangle rectangle $DEF$ avec l'angle droit en $F$. Les longueurs des côtés sont $DF = 3$ cm, $EF = 4$ cm et $DE = 5$ cm. Calculons les rapports trigonométriques pour l'angle $\angle DEF$. > > 1. **Identifier les côtés** par rapport à l'angle $\angle DEF$ : > * Hypoténuse : $DE = 5$ cm > * Côté opposé à $\angle DEF$ : $DF = 3$ cm > * Côté adjacent à $\angle DEF$ : $EF = 4$ cm > > 2. **Calculer les rapports** : > * $\sin(\angle DEF) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{DF}{DE} = \frac{3}{5} = 0.6$ > * $\cos(\angle DEF) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{EF}{DE} = \frac{4}{5} = 0.8$ > * $\tan(\angle DEF) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Côté adjacent}} = \frac{DF}{EF} = \frac{3}{4} = 0.75$ # Propriétés Fondamentales de la Trigonométrie Ces identités sont cruciales et découlent directement du théorème de Pythagore et des définitions précédentes. > [!theorem] Relation Fondamentale de la Trigonométrie > Pour tout angle $\theta$ (où $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$ sont définis), la relation suivante est toujours vérifiée : > $ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $ > où $\sin^2(\theta)$ signifie $(\sin(\theta))^2$. > > **Preuve :** > Reprenons notre triangle rectangle avec l'angle $\theta$, le côté opposé $o$, le côté adjacent $a$ et l'hypoténuse $h$. > Nous avons : > $\sin(\theta) = \frac{o}{h}$ et $\cos(\theta) = \frac{a}{h}$. > Donc, $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = \left(\frac{o}{h}\right)^2 + \left(\frac{a}{h}\right)^2 = \frac{o^2}{h^2} + \frac{a^2}{h^2} = \frac{o^2 + a^2}{h^2}$. > D'après le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, $o^2 + a^2 = h^2$. > Donc, $\frac{o^2 + a^2}{h^2} = \frac{h^2}{h^2} = 1$. > CQFD. > [!theorem] Relation entre Tangente, Sinus et Cosinus > Pour tout angle $\theta$ tel que $\cos(\theta) \neq 0$, la tangente est égale au rapport du sinus sur le cosinus : > $ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $ > > **Preuve :** > En utilisant les définitions : > $\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{o/h}{a/h} = \frac{o}{h} \times \frac{h}{a} = \frac{o}{a}$. > Or, $\frac{o}{a}$ est la définition de $\tan(\theta)$. > CQFD. > [!warning] Domaine de définition de la tangente > La tangente n'est pas définie lorsque $\cos(\theta) = 0$. Cela correspond aux angles de $90^\circ$ (ou $\pi/2$ radians) et $270^\circ$ (ou $3\pi/2$ radians), ainsi qu'à leurs multiples de $180^\circ$ (ou $\pi$ radians). > [!example] Utilisation des identités > Si vous savez que $\sin(\theta) = 0.6$ et que $\theta$ est un angle aigu, vous pouvez trouver $\cos(\theta)$ et $\tan(\theta)$. > 1. **Trouver $\cos(\theta)$** en utilisant $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ : > $(0.6)^2 + \cos^2(\theta) = 1$ > $0.36 + \cos^2(\theta) = 1$ > $\cos^2(\theta) = 1 - 0.36 = 0.64$ > > Comme $\theta$ est un angle aigu (entre $0^\circ$ et $90^\circ$), $\cos(\theta)$ est positif. > $\cos(\theta) = \sqrt{0.64} = 0.8$ > 1. **Trouver $\tan(\theta)$** en utilisant $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ : > $\tan(\theta) = \frac{0.6}{0.8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$ > Ces résultats sont cohérents avec notre exemple précédent. # Angles Remarquables Il est très utile de connaître les valeurs des rapports trigonométriques pour certains angles fréquemment rencontrés. > [!note] Démonstration des valeurs pour $45^\circ$ > Considérons un triangle rectangle isocèle, par exemple un demi-carré. Les deux angles aigus sont de $45^\circ$. Si les côtés adjacents mesurent 1, alors l'hypoténuse, par Pythagore, mesure $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. > > * $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ > * $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ > * $\tan(45^\circ) = \frac{1}{1} = 1$ > [!note] Démonstration des valeurs pour $30^\circ$ et $60^\circ$ > Considérons un triangle équilatéral de côté 2. Tous ses angles sont de $60^\circ$. Traçons une hauteur, qui est aussi une médiane et une bissectrice. Elle divise le triangle équilatéral en deux triangles rectangles identiques. > > Pour l'un de ces triangles rectangles : > * L'hypoténuse est 2. > * Un côté est la moitié du côté du triangle équilatéral, donc 1. > * L'autre côté est la hauteur, que l'on calcule par Pythagore : $h^2 + 1^2 = 2^2 \implies h^2 = 3 \implies h = \sqrt{3}$. > * Les angles sont $30^\circ$ (moitié de $60^\circ$) et $60^\circ$. > > **Pour $30^\circ$ :** > * Côté opposé : 1 > * Côté adjacent : $\sqrt{3}$ > * Hypoténuse : 2 > * $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ > * $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ > * $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ > > **Pour $60^\circ$ :** > * Côté opposé : $\sqrt{3}$ > * Côté adjacent : 1 > * Hypoténuse : 2 > * $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ > * $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ > * $\tan(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ Voici un tableau récapitulatif des valeurs à connaître : | Angle $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | | :------------: | :-------: | :--------: | :--------: | :--------: | :--------: | | $\sin(\theta)$ | 0 | $1/2$ | $\sqrt{2}/2$ | $\sqrt{3}/2$ | 1 | | $\cos(\theta)$ | 1 | $\sqrt{3}/2$ | $\sqrt{2}/2$ | $1/2$ | 0 | | $\tan(\theta)$ | 0 | $\sqrt{3}/3$ | 1 | $\sqrt{3}$ | Indéfini | > [!tip] Astuce pour la mémorisation > Pour $\sin(\theta)$ : écrivez $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$. > Ce qui donne : $0, 1/2, \sqrt{2}/2, \sqrt{3}/2, 1$. > Pour $\cos(\theta)$ : il suffit de lire la ligne du sinus dans l'ordre inverse ! > Pour $\tan(\theta)$ : utilisez la relation $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$. # Introduction au Cercle Trigonométrique Les définitions du sinus, du cosinus et de la tangente basées sur le triangle rectangle ne s'appliquent qu'aux angles aigus ($0^\circ < \theta < 90^\circ$). Pour étendre la trigonométrie à des angles quelconques (négatifs, supérieurs à $90^\circ$, etc.), on utilise le **cercle trigonométrique** (ou cercle unitaire). > [!definition] Cercle Trigonométrique > Le **cercle trigonométrique** est un cercle centré à l'origine $(0,0)$ d'un repère orthonormé, et de rayon 1. * On mesure les angles à partir de l'axe des abscisses positif (l'axe $Ox$), dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens trigonométrique ou positif). * Pour un point $M$ sur le cercle trigonométrique, correspondant à un angle $\theta$ (mesuré depuis l'axe $Ox$), ses coordonnées $(x_M, y_M)$ sont définies comme : * $x_M = \cos(\theta)$ * $y_M = \sin(\theta)$ ![[cercle.png|500]] ## Application de visualisation sur Geogebra <iframe src="https://www.geogebra.org/classic/e3tkhknu?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe> > [!note] Généralisation des définitions > Avec le cercle trigonométrique, les définitions de $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$ sont généralisées pour tout nombre réel $\theta$. > * $\sin(\theta)$ est l'ordonnée du point $M$ sur le cercle. > * $\cos(\theta)$ est l'abscisse du point $M$ sur le cercle. > > La relation fondamentale $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ devient une conséquence directe de l'équation du cercle unitaire ($x^2 + y^2 = 1$). > [!note] Angles en radians > Sur le cercle trigonométrique, il est naturel de mesurer les angles en **radians**. Un angle en radians est la longueur de l'arc de cercle intercepté par l'angle sur un cercle de rayon 1. > * $360^\circ = 2\pi$ radians > * $180^\circ = \pi$ radians > * $90^\circ = \pi/2$ radians > * $60^\circ = \pi/3$ radians > * $45^\circ = \pi/4$ radians > * $30^\circ = \pi/6$ radians > > Cette unité est fondamentale pour l'étude des fonctions trigonométriques en analyse, car elle simplifie de nombreuses formules et calculs de dérivées/intégrales. Les signes de $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$ dépendent du quadrant où se trouve le point $M$ : | Quadrant | Intervalle d'angle | $\cos(\theta)$ (abscisse) | $\sin(\theta)$ (ordonnée) | $\tan(\theta)$ | | :------: | :----------------------: | :-----------------------: | :-----------------------: | :------------: | | I | $0 < \theta < \pi/2$ | $+$ | $+$ | $+$ | | II | $\pi/2 < \theta < \pi$ | $-$ | $+$ | $-$ | | III | $\pi < \theta < 3\pi/2$ | $-$ | $-$ | $+$ | | IV | $3\pi/2 < \theta < 2\pi$ | $+$ | $-$ | $-$ | # Applications Simples : Résolution de Triangles Rectangles La trigonométrie est un outil puissant pour déterminer des longueurs ou des angles inconnus dans un triangle rectangle, à condition de connaître suffisamment d'informations. > [!example] Calcul d'une hauteur > Un observateur se trouve à 50 mètres d'un arbre. L'angle d'élévation (l'angle entre l'horizontale et la ligne de visée vers le sommet de l'arbre) est de $35^\circ$. Quelle est la hauteur de l'arbre ? > > 1. **Dessiner la situation :** On forme un triangle rectangle. > * Le côté adjacent à l'angle de $35^\circ$ est la distance de l'observateur à l'arbre : $50$ m. > * Le côté opposé à l'angle de $35^\circ$ est la hauteur de l'arbre $h$. > * L'hypoténuse est la ligne de visée. > > 2. **Choisir le bon rapport trigonométrique :** Nous connaissons le côté adjacent et nous cherchons le côté opposé. La tangente relie ces deux côtés : > $\tan(\theta) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Côté adjacent}}$ > > 3. **Appliquer la formule :** > $\tan(35^\circ) = \frac{h}{50}$ > > 4. **Résoudre pour $h$ :** > $h = 50 \times \tan(35^\circ)$ > > 5. **Calculer (avec une calculatrice) :** > $h \approx 50 \times 0.7002 \approx 35.01 m$ > > L'arbre mesure environ 35 mètres de haut. > [!example] Calcul d'un angle > Un toboggan mesure 6 mètres de long et sa partie supérieure est à 3 mètres du sol. Quel est l'angle d'inclinaison du toboggan par rapport au sol ? > > 6. **Dessiner la situation :** On forme un triangle rectangle. > * L'hypoténuse est la longueur du toboggan : $6$ m. > * Le côté opposé à l'angle d'inclinaison $\alpha$ est la hauteur : $3$ m. > > 7. **Choisir le bon rapport trigonométrique :** Nous connaissons le côté opposé et l'hypoténuse. Le sinus relie ces deux côtés : > $\sin(\alpha) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Hypoténuse}}$ > > 8. **Appliquer la formule :** > $\sin(\alpha) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ > > 9. **Trouver l'angle :** On cherche l'angle dont le sinus est $1/2$. C'est une valeur remarquable ! > $\alpha = 30^\circ$ > (Ou en utilisant la fonction arc sinus : $\alpha = \arcsin(1/2)$ ou $\sin^{-1}(1/2)$ sur une calculatrice). > > L'angle d'inclinaison du toboggan est de $30^\circ$. # ➡ C'est la fin Ce chapitre vous a introduit aux fondements de la trigonométrie, en commençant par les rapports dans le triangle rectangle et en progressant vers l'idée du cercle trigonométrique. > [!summary]- Points Clés à Retenir > * **Triangle Rectangle** : Hypothénuse, côté opposé, côté adjacent. > * **Rapports Trigonométriques** : > * $\sin(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$ > * $\cos(\theta) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$ > * $\tan(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$ > * **Identités Fondamentales** : > * $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ > * $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ (pour $\cos(\theta) \neq 0$) > * **Angles Remarquables** : Connaître les valeurs pour $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$. > * **Cercle Trigonométrique** : Généralisation des définitions pour tous les angles, où $(\cos(\theta), \sin(\theta))$ sont les coordonnées d'un point sur le cercle unitaire. Introduction des radians. > * **Applications** : Résolution de problèmes de triangles rectangles (calcul de longueurs et d'angles). La trigonométrie est une passerelle essentielle vers l'étude des **fonctions réelles**. Dans les chapitres suivants, nous approfondirons les fonctions trigonométriques ($\sin(x)$, $\cos(x)$ et $\tan(x)$) comme des fonctions définies sur l'ensemble des nombres réels, étudiant leurs propriétés (périodicité, parité), leurs graphes, leurs dérivées et leurs intégrales. Ces concepts sont la clé pour comprendre les phénomènes oscillatoires et ondulatoires en ingénierie. --- - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Cours 2 - Trigonométrie]] - Page d'accueil de la compétence: [[Trigonométrie]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]] - Dernière MAJ: `02-Septembre-2025`