%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Trigonométrie|Accueil · Trigonométrie]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Cours 2 - Trigonométrie\|Cours 2 - Trigonométrie →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # Trigonométrie: Trigonométrie dans un triangle rectangle > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Trigonométrie|Trigonométrie]] >[!tip] Tags > #Sin #Cos #Tan #TriangleRectangle >[!example] Contenu de ce cours > - Définir et calculer les rapports trigonométriques (sinus, cosinus, tangente) dans un triangle rectangle. > - Appliquer les relations fondamentales de la trigonométrie. > - Connaître les valeurs des rapports trigonométriques pour les angles remarquables. > - Utiliser la trigonométrie pour résoudre des problèmes simples impliquant des triangles rectangles. # Pourquoi la Trigonométrie ? La trigonométrie, du grec "trigonon" (triangle) et "metron" (mesure), est littéralement la "mesure des triangles". Née de la nécessité de résoudre des problèmes d'astronomie et de navigation dans l'Antiquité, elle est devenue un outil mathématique indispensable dans presque tous les domaines de l'ingénierie moderne. Que vous travailliez en physique (mécanique, optique, ondes), en génie électrique (courants alternatifs, signaux), en informatique (graphisme 3D, traitement d'images), en robotique ou en génie civil, les concepts trigonométriques sont omniprésents. Ils permettent de modéliser des phénomènes périodiques, de calculer des distances inaccessibles, de décrire des rotations et des oscillations, et bien plus encore. Ce chapitre posera les bases solides nécessaires pour aborder des notions plus avancées, notamment l'étude des fonctions trigonométriques et leurs applications aux systèmes dynamiques et à l'analyse de Fourier. # Le Triangle Rectangle et les Rapports Trigonométriques Le point de départ de la trigonométrie est le triangle rectangle. > [!definition] Triangle Rectangle > Un **triangle rectangle** est un triangle qui possède un angle droit (mesurant 90 degrés ou $\pi/2$ radians). Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'**hypoténuse**, et c'est toujours le plus long côté du triangle. Les deux autres côtés sont appelés les **côtés de l'angle droit** ou **cathètes**. Considérons un triangle rectangle $ABC$, avec l'angle droit en $C$. Soit $\theta$ l'angle aigu au sommet $A$. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Ressources Trigonométrie/triangle rectangle.png]] Dans ce triangle : * Le côté $AB$ est l'**hypoténuse**. * Le côté $BC$ est le côté **opposé** à l'angle $\theta$. * Le côté $AC$ est le côté **adjacent** à l'angle $\theta$. Les rapports trigonométriques sont des rapports entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Pour un angle aigu $\theta$ donné, ces rapports sont constants, quelle que soit la taille du triangle. > [!definition] Sinus (sin) > Le **sinus** d'un angle aigu $\theta$ dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté **opposé** à $\theta$ et la longueur de l'**hypoténuse**. > $ \sin(\theta) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Hypoténuse}} $ > Dans notre exemple : $\sin(\theta) = \frac{BC}{AB}$. > [!definition] Cosinus (cos) > Le **cosinus** d'un angle aigu $\theta$ dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté **adjacent** à $\theta$ et la longueur de l'**hypoténuse**. > $ \cos(\theta) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}} $ > Dans notre exemple : $\cos(\theta) = \frac{AC}{AB}$. > [!definition] Tangente (tan) > La **tangente** d'un angle aigu $\theta$ dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté **opposé** à $\theta$ et la longueur du côté **adjacent** à $\theta$. > $ \tan(\theta) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Côté adjacent}} $ > Dans notre exemple : $\tan(\theta) = \frac{BC}{AC}$. > [!definition] Cotangente (cot) > La **cotangente** d'un angle aigu $\theta$ dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté **adjacent** à $\theta$ et la longueur du côté **opposé** à $\theta$. > $ \cot(\theta) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Côté opposé}} $ > Dans notre exemple : $\cot(\theta) = \frac{AC}{BC}$. > [!example] Calcul des rapports trigonométriques > Soit un triangle rectangle $DEF$ avec l'angle droit en $F$. Les longueurs des côtés sont $DF = 3$ cm, $EF = 4$ cm et $DE = 5$ cm. Calculons les rapports trigonométriques pour l'angle $\angle DEF$. > > 1. **Identifier les côtés** par rapport à l'angle $\angle DEF$ : > * Hypoténuse : $DE = 5$ cm > * Côté opposé à $\angle DEF$ : $DF = 3$ cm > * Côté adjacent à $\angle DEF$ : $EF = 4$ cm > > 2. **Calculer les rapports** : > * $\sin(\angle DEF) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{DF}{DE} = \frac{3}{5} = 0.6$ > * $\cos(\angle DEF) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{EF}{DE} = \frac{4}{5} = 0.8$ > * $\tan(\angle DEF) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Côté adjacent}} = \frac{DF}{EF} = \frac{3}{4} = 0.75$ > * $\cot(\angle DEF) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Côté opposé}} = \frac{EF}{DF} = \frac{4}{3} = 1.33$ # Propriétés Fondamentales de la Trigonométrie Ces identités sont cruciales et découlent directement du théorème de Pythagore et des définitions précédentes. > [!theorem] Relation Fondamentale de la Trigonométrie > Pour tout angle $\theta$ (où $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$ sont définis), la relation suivante est toujours vérifiée : > $ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $ > où $\sin^2(\theta)$ signifie $(\sin(\theta))^2$. >[!example]- Preuve > Reprenons notre triangle rectangle avec l'angle $\theta$, le côté opposé $o$, le côté adjacent $a$ et l'hypoténuse $h$. > Nous avons : > $\sin(\theta) = \frac{o}{h}$ et $\cos(\theta) = \frac{a}{h}$. > Donc, $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = \left(\frac{o}{h}\right)^2 + \left(\frac{a}{h}\right)^2 = \frac{o^2}{h^2} + \frac{a^2}{h^2} = \frac{o^2 + a^2}{h^2}$. > D'après le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, $o^2 + a^2 = h^2$. > Donc, $\frac{o^2 + a^2}{h^2} = \frac{h^2}{h^2} = 1$. > CQFD. > [!theorem] Relation entre Tangente, Sinus et Cosinus > Pour tout angle $\theta$ tel que $\cos(\theta) \neq 0$, la tangente est égale au rapport du sinus sur le cosinus : > $ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $ >[!example]- Preuve > En utilisant les définitions : > $\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{o/h}{a/h} = \frac{o}{h} \times \frac{h}{a} = \frac{o}{a}$. > Or, $\frac{o}{a}$ est la définition de $\tan(\theta)$. > CQFD. > [!definition] Relation entre Cotangente, Sinus et Cosinus > Pour tout angle $\theta$ tel que $\sin(\theta) \neq 0$, la **cotangente** de $\theta$, notée $\cot(\theta)$, est définie par : > $ \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $ > > On a également $\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}$ lorsque $\tan(\theta)$ est définie et non nulle. >[!example]- Preuve > En utilisant les définitions : > $\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} = \frac{a/h}{o/h} = \frac{a}{h} \times \frac{h}{o} = \frac{a}{o}$. > Or, $\frac{a}{o}$ est la définition de $\cot(\theta)$. > CQFD. > [!example] Utilisation des identités > Si vous savez que $\sin(\theta) = 0.6$ et que $\theta$ est un angle aigu, vous pouvez trouver $\cos(\theta)$, $\tan(\theta)$ et $\cot(\theta)$. > 1. Trouver $\cos(\theta)$ en utilisant $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ : > $(0.6)^2 + \cos^2(\theta) = 1$ > $0.36 + \cos^2(\theta) = 1$ > $\cos^2(\theta) = 1 - 0.36 = 0.64$ > Comme $\theta$ est un angle aigu (entre $0^\circ$ et $90^\circ$), $\cos(\theta)$ est positif. > $\cos(\theta) = \sqrt{0.64} = 0.8$ > 2. Trouver $\tan(\theta)$ en utilisant $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ : > $\tan(\theta) = \frac{0.6}{0.8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$ > 3. Trouver $\cot(\theta)$. > $\cot(\theta)=\frac{1}{tan(\theta)}=\frac{1}{0.75}=\frac{4}{3}.$ > > Ces résultats sont cohérents avec notre exemple précédent. # Angles Remarquables Il est très utile de connaître les valeurs des rapports trigonométriques pour certains angles fréquemment rencontrés. > [!note] Démonstration des valeurs pour $45^\circ$ > Considérons un triangle rectangle isocèle, par exemple un demi-carré. Les deux angles aigus sont de $45^\circ$. Si les côtés adjacents mesurent 1, alors l'hypoténuse, par Pythagore, mesure $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Ressources Trigonométrie/triangle rectangle isocèle.png||300]] > > * $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ > * $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ > * $\tan(45^\circ) = \frac{1}{1} = 1$ > [!note] Démonstration des valeurs pour $30^\circ$ et $60^\circ$ > Considérons un triangle équilatéral de côté 2. Tous ses angles sont de $60^\circ$. Traçons une hauteur, qui est aussi une médiane et une bissectrice. Elle divise le triangle équilatéral en deux triangles rectangles identiques. > > Pour l'un de ces triangles rectangles : > * L'hypoténuse est 2. > * Un côté est la moitié du côté du triangle équilatéral, donc 1. > * L'autre côté est la hauteur, que l'on calcule par Pythagore : $h^2 + 1^2 = 2^2 \implies h^2 = 3 \implies h = \sqrt{3}$. > * Les angles sont $30^\circ$ (moitié de $60^\circ$) et $60^\circ$. > > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Ressources Trigonométrie/triangle équilatéral.png||300]] > > **Pour $30^\circ$ :** > * Côté opposé : 1 > * Côté adjacent : $\sqrt{3}$ > * Hypoténuse : 2 > * $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ > * $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ > * $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ > > **Pour $60^\circ$ :** > * Côté opposé : $\sqrt{3}$ > * Côté adjacent : 1 > * Hypoténuse : 2 > * $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ > * $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ > * $\tan(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ Voici un tableau récapitulatif des valeurs à connaître : | Angle $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | | :------------: | :-------: | :----------: | :----------: | :----------: | :--------: | | $\sin(\theta)$ | 0 | $1/2$ | $\sqrt{2}/2$ | $\sqrt{3}/2$ | 1 | | $\cos(\theta)$ | 1 | $\sqrt{3}/2$ | $\sqrt{2}/2$ | $1/2$ | 0 | | $\tan(\theta)$ | 0 | $\sqrt{3}/3$ | 1 | $\sqrt{3}$ | Indéfini | > [!tip] Astuce pour la mémorisation > Pour $\sin(\theta)$ : écrivez $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$. > Ce qui donne : $0, 1/2, \sqrt{2}/2, \sqrt{3}/2, 1$. > Pour $\cos(\theta)$ : il suffit de lire la ligne du sinus dans l'ordre inverse ! > Pour $\tan(\theta)$ : utilisez la relation $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$. # Applications Simples : Résolution de Triangles Rectangles La trigonométrie est un outil puissant pour déterminer des longueurs ou des angles inconnus dans un triangle rectangle, à condition de connaître suffisamment d'informations. > [!example] Calcul d'une hauteur > Un observateur se trouve à 50 mètres d'un arbre. L'angle d'élévation (l'angle entre l'horizontale et la ligne de visée vers le sommet de l'arbre) est de $35^\circ$. Quelle est la hauteur de l'arbre ? > > 1. **Dessiner la situation :** On forme un triangle rectangle. > * Le côté adjacent à l'angle de $35^\circ$ est la distance de l'observateur à l'arbre : $50$ m. > * Le côté opposé à l'angle de $35^\circ$ est la hauteur de l'arbre $h$. > * L'hypoténuse est la ligne de visée. > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Ressources Trigonométrie/exemple arbre.png||300]] > > 2. **Choisir le bon rapport trigonométrique :** Nous connaissons le côté adjacent et nous cherchons le côté opposé. La tangente relie ces deux côtés : > $\tan(\theta) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Côté adjacent}}$ > > 3. **Appliquer la formule :** > $\tan(35^\circ) = \frac{h}{50}$ > > 4. **Résoudre pour $h$ :** > $h = 50 \times \tan(35^\circ)$ > > 5. **Calculer (avec une calculatrice) :** > $h \approx 50 \times 0.7002 \approx 35.01 m$ > > L'arbre mesure environ 35 mètres de haut. > [!example] Calcul d'un angle > Un toboggan mesure 6 mètres de long et sa partie supérieure est à 3 mètres du sol. Quel est l'angle d'inclinaison du toboggan par rapport au sol ? > > 6. **Dessiner la situation :** On forme un triangle rectangle. > * L'hypoténuse est la longueur du toboggan : $6$ m. > * Le côté opposé à l'angle d'inclinaison $\alpha$ est la hauteur : $3$ m. > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Ressources Trigonométrie/exemple tobogan.png||300]] > > 7. **Choisir le bon rapport trigonométrique :** Nous connaissons le côté opposé et l'hypoténuse. Le sinus relie ces deux côtés : > $\sin(\alpha) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Hypoténuse}}$ > > 8. **Appliquer la formule :** > $\sin(\alpha) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ > > 9. **Trouver l'angle :** On cherche l'angle dont le sinus est $1/2$. C'est une valeur remarquable ! > $\alpha = 30^\circ$ > (Ou en utilisant la fonction arc sinus : $\alpha = \arcsin(1/2)$ ou $\sin^{-1}(1/2)$ sur une calculatrice). > > L'angle d'inclinaison du toboggan est de $30^\circ$. # ➡ C'est la fin > [!summary] Points Clés à Retenir > * **Triangle Rectangle** : Hypothénuse, côté opposé, côté adjacent. > * **Rapports Trigonométriques** : > * $\sin(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$ > * $\cos(\theta) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$ > * $\tan(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$ > * $\cot(\theta) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Opposé}}$ > * **Identités Fondamentales** : > * $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ > * $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ (pour $\cos(\theta) \neq 0$) > * $\cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$ (pour $\sin(\theta) \neq 0$) > * **Angles Remarquables** : Connaître les valeurs pour $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$. > * **Applications** : Résolution de problèmes de triangles rectangles (calcul de longueurs et d'angles). - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Cours 2 - Trigonométrie|Cours 2 - Trigonométrie]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Trigonométrie|Trigonométrie]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] - Dernière MAJ: `06-juillet-2026` %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Trigonométrie|Accueil · Trigonométrie]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Cours 2 - Trigonométrie\|Cours 2 - Trigonométrie →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%