# Relations Trigonométriques Fondamentales > Page d'accueil de la compétence: [[Trigonométrie]] >[!tip] Tags > #Sin #Cos #Tan #TriangleRectângle #CercleTrigonométrique #RelationsTrigonométriques #TransformationsTrigonométriques > [!note] Fil directeur > À la fin de ce chapitre, vous serez capable de : > - Définir et représenter les fonctions trigonométriques sur le cercle unitaire. > - Appliquer les relations fondamentales entre le sinus, le cosinus et la tangente. > - Utiliser les formules d'addition, de duplication et de linéarisation. > - Résoudre des équations trigonométriques simples. > - Simplifier des expressions trigonométriques complexes. >[!example] Contenu de ce cours > - Relations trigonométriques fondamentales > - Formules d'addiction et soustraction > - Formules de Transformation Somme-Produit # Rappels sur le Cercle Trigonométrique Le cercle trigonométrique est l'outil fondamental pour comprendre et visualiser les relations trigonométriques. > [!definition] Cercle Trigonométrique > Le **cercle trigonométrique** est un cercle de rayon $R=1$ centré à l'origine $O(0,0)$ d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. > - L'axe des abscisses est l'axe des cosinus. > - L'axe des ordonnées est l'axe des sinus. > - Les angles sont mesurés en **radians**, en partant de l'axe positif des abscisses, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens positif). ![[cercle.png|430]] # Définition des Fonctions Trigonométriques Pour tout angle réel $x$ (en radians), on associe un point $M$ sur le cercle trigonométrique. Si $M(x_M, y_M)$ sont les coordonnées de ce point : > [!definition] Sinus et Cosinus > - Le **cosinus** de l'angle $x$, noté $\cos(x)$, est l'abscisse du point $M$. > $ \cos(x) = x_M $ > - Le **sinus** de l'angle $x$, noté $\sin(x)$, est l'ordonnée du point $M$. > $ \sin(x) = y_M $ > [!note] Propriétés fondamentales de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ > - Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $-1 \le \cos(x) \le 1$ et $-1 \le \sin(x) \le 1$. > - Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques : $\cos(x+2k\pi) = \cos(x)$ et $\sin(x+2k\pi) = \sin(x)$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$. > [!definition] Tangente, Cotangente, Sécante et Cosécante > - La **tangente** de l'angle $x$, notée $\tan(x)$, est le rapport du sinus sur le cosinus : > $ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $ > Elle est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ tel que $\cos(x) \ne 0$, c'est-à-dire $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. > - La **cotangente** de l'angle $x$, notée $\cot(x)$ ou $\mathrm{cotg}(x)$, est l'inverse de la tangente : > $ \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} $ > Elle est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ tel que $\sin(x) \ne 0$, c'est-à-dire $x \ne k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. > - La **sécante** de l'angle $x$, notée $\sec(x)$, est l'inverse du cosinus : > $ \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} $ > Elle est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ tel que $\cos(x) \ne 0$. > - La **cosécante** de l'angle $x$, notée $\csc(x)$ ou $\mathrm{cosec}(x)$, est l'inverse du sinus : > $ \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} $ > Elle est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ tel que $\sin(x) \ne 0$. > [!tip] Visualisation de la tangente > La tangente d'un angle $x$ est la mesure algébrique du point d'intersection de la droite $(OM)$ avec la droite d'équation $X=1$ (la tangente au cercle au point $(1,0)$). ![[cercle triangle fonctions.png]] ## Valeurs Remarquables Il est crucial de connaître les valeurs exactes des fonctions trigonométriques pour certains angles : | $x$ (radians) | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ | | :-----------: | :-: | :------------------: | :------------------: | :------------------: | :-------------: | :---: | :--------------: | :----: | | $\cos(x)$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ | | $\sin(x)$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | | $\tan(x)$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | Indéfini | $0$ | Indéfini | $0$ | # Relations Fondamentales Ces relations sont les piliers de la trigonométrie. Elles découlent directement de la définition sur le cercle trigonométrique. ## Relation de Pythagore > [!theorem] Théorème de Pythagore pour la Trigonométrie > Pour tout réel $x$, on a : > $ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 $ > > [!note] Notation > > $\cos^2(x)$ signifie $(\cos(x))^2$. > [!example] Démonstration (rapide) > Soit $M(x_M, y_M)$ le point sur le cercle trigonométrique associé à l'angle $x$. On sait que $x_M = \cos(x)$ et $y_M = \sin(x)$. > Le cercle trigonométrique a pour équation $x^2 + y^2 = R^2$. Comme $R=1$, l'équation est $x^2 + y^2 = 1$. > En substituant, on obtient $(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2 = 1$, d'où $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. ## Relations Impliquant la Tangente et la Cotangente À partir de la relation de Pythagore, on peut déduire d'autres identités. > [!theorem] Relations avec la Tangente et la Cotangente > Pour tout $x$ où les expressions sont définies : > 1. $ 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x) $ > 2. $ 1 + \cot^2(x) = \frac{1}{\sin^2(x)} = \csc^2(x) $ > [!example]- Démonstration de $1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ > Partons de la relation fondamentale : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. > Divisons tous les termes par $\cos^2(x)$ (en supposant $\cos(x) \ne 0$) : > $ \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} $ > $ 1 + \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2(x)} $ > $ 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} $ > La démonstration pour $1 + \cot^2(x)$ est similaire, en divisant par $\sin^2(x)$. # Angles Associés Ces formules permettent de relier les fonctions trigonométriques d'un angle $x$ à celles d'angles comme $-x$, $\frac{\pi}{2}-x$, $\pi-x$, etc. Elles sont cruciales pour simplifier les expressions et résoudre des équations. > [!theorem] Formules des Angles Associés > Pour tout réel $x$ : > > 1. **Angles opposés** (symétrie par rapport à l'axe des abscisses) : > $ \cos(-x) = \cos(x) $ > $ \sin(-x) = -\sin(x) $ > $ \tan(-x) = -\tan(x) \quad (\text{si } x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi) $ > > [!note] Parité des fonctions > > - $\cos$ est une fonction paire. > > - $\sin$ et $\tan$ sont des fonctions impaires. > > 2. **Angles complémentaires** (symétrie par rapport à la première bissectrice $y=x$) : > $ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin(x) $ > $ \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos(x) $ > $ \tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cot(x) \quad (\text{si } x \ne k\pi) $ > > 3. **Angles supplémentaires** (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) : > $ \cos(\pi-x) = -\cos(x) $ > $ \sin(\pi-x) = \sin(x) $ > $ \tan(\pi-x) = -\tan(x) \quad (\text{si } x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi) $ > > 4. **Angles décalés de $\pi$** (symétrie par rapport à l'origine) : > $ \cos(\pi+x) = -\cos(x) $ > $ \sin(\pi+x) = -\sin(x) $ > $ \tan(\pi+x) = \tan(x) \quad (\text{si } x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi) $ > > [!note] Périodicité de $\tan$ > > La fonction $\tan$ est $\pi$-périodique. > [!example] Application > Calculer $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$. > On sait que $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$. > Donc, $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$. > Et $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. # Formules d'Addition et de Soustraction Ces formules sont d'une importance capitale car elles permettent de calculer les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles. > [!theorem] Formules d'Addition et de Soustraction > Pour tous réels $a$ et $b$ : > > 1. **Cosinus de la somme/différence** : > $ \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) $ > $ \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) $ > > 2. **Sinus de la somme/différence** : > $ \sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) $ > $ \sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b) $ > > 3. **Tangente de la somme/différence** (si les dénominateurs sont non nuls) : > $ \tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} $ > $ \tan(a-b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)} $ > [!tip] Mémorisation > Pour le cosinus, "cos cos moins sin sin" pour l'addition, "cos cos plus sin sin" pour la soustraction. > Pour le sinus, "sin cos plus cos sin" pour l'addition, "sin cos moins cos sin" pour la soustraction. > Le signe de l'opérateur dans la formule du cosinus est *opposé* à celui de l'angle, tandis que pour le sinus, il est *identique*. > [!example] Calcul de $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$ > On sait que $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$. > En utilisant la formule $\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$ : > $ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $ > $ = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $ > $ = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} $ # Formules de Duplication (Arc Double) Ces formules sont un cas particulier des formules d'addition où $a=b$. Elles sont très utilisées pour exprimer les fonctions trigonométriques de $2x$ en fonction de celles de $x$. > [!theorem] Formules de Duplication > Pour tout réel $x$ : > > 1. **Cosinus de l'arc double** : > $ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) $ > On peut aussi exprimer $\cos(2x)$ uniquement en fonction de $\cos(x)$ ou $\sin(x)$ en utilisant $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$: > $ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 $ > $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) $ > > 2. **Sinus de l'arc double** : > $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $ > > 3. **Tangente de l'arc double** (si les expressions sont définies) : > $ \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)} $ > [!example] Démonstration de $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ > On utilise la formule d'addition $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$. > En posant $a=x$ et $b=x$, on obtient : > $ \sin(x+x) = \sin(x)\cos(x) + \cos(x)\sin(x) $ > $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $ # Formules de Linéarisation (Arc Moitié) Ces formules sont dérivées des formules de duplication et sont particulièrement utiles pour simplifier des expressions contenant des puissances de sinus et cosinus, notamment en calcul intégral. Elles permettent d'exprimer $\cos^2(x)$ et $\sin^2(x)$ en fonction de $\cos(2x)$. > [!theorem] Formules de Linéarisation > Pour tout réel $x$ : > > 1. $ \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $ > 2. $ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $ > [!example] Démonstration de $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ > On part de la formule de duplication : $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$. > On isole $\cos^2(x)$ : > $ \cos(2x) + 1 = 2\cos^2(x) $ > $ \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $ > La démonstration pour $\sin^2(x)$ est similaire en partant de $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$. # Formules de Transformation Somme-Produit et Produit-Somme (Complémentaire) Ces formules sont utiles pour transformer des sommes ou différences de fonctions trigonométriques en produits, et inversement. Elles sont particulièrement pratiques pour la factorisation ou la simplification d'expressions, et pour la résolution d'équations. ## Formules Produit-Somme Elles découlent directement des formules d'addition et de soustraction. > [!theorem] Formules Produit-Somme > Pour tous réels $a$ et $b$ : > 1. $ \cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)] $ > 2. $ \sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)] $ > 3. $ \sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)] $ ## Formules Somme-Produit Elles sont obtenues en posant $p = a+b$ et $q = a-b$, d'où $a = \frac{p+q}{2}$ et $b = \frac{p-q}{2}$, puis en substituant dans les formules produit-somme. > [!theorem] Formules Somme-Produit > Pour tous réels $p$ et $q$ : > 1. $ \cos(p) + \cos(q) = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right) $ > 2. $ \cos(p) - \cos(q) = -2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right) $ > 3. $ \sin(p) + \sin(q) = 2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right) $ > 4. $ \sin(p) - \sin(q) = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right) $ # Applications et Exemples La maîtrise de ces formules passe par la pratique. > [!example] Simplification d'expression > Simplifier l'expression $A = \frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)}$. > On utilise les formules de duplication : $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ et $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$. > $ A = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{1 + (2\cos^2(x) - 1)} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\cos^2(x)} $ > En simplifiant par $2\cos(x)$ (en supposant $\cos(x) \ne 0$) : > $ A = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x) $ > [!example] Résolution d'équation trigonométrique > Résoudre l'équation $\cos(x) = \sin(x)$ pour $x \in [0, 2\pi[$. > On peut diviser par $\cos(x)$ (en supposant $\cos(x) \ne 0$) : > $ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 1 \implies \tan(x) = 1 $ > Les solutions de $\tan(x)=1$ sont $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. > Pour $x \in [0, 2\pi[$ : > - Si $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. > - Si $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. > Si $\cos(x)=0$, alors $x = \frac{\pi}{2}$ ou $x = \frac{3\pi}{2}$. Dans ces cas, $\sin(x) = \pm 1$, donc $\cos(x) \ne \sin(x)$. Les solutions trouvées sont donc valides. > Les solutions sont $x = \frac{\pi}{4}$ et $x = \frac{5\pi}{4}$. # ➡️ C'est la fin Ce chapitre vous a introduit aux **relations trigonométriques fondamentales**. Vous avez revu le cercle trigonométrique, défini les fonctions de base, et surtout, exploré un ensemble de formules essentielles. Ces outils ne sont pas de simples identités à mémoriser, mais des leviers puissants pour la résolution de problèmes en mathématiques et en ingénierie. Votre capacité à manipuler ces formules avec aisance sera un atout majeur. La trigonométrie est la porte d'entrée vers l'étude des **fonctions réelles périodiques**, des séries de Fourier, des oscillateurs harmoniques en physique, et bien d'autres concepts que vous aborderez prochainement. Assurez-vous de bien comprendre et de pratiquer régulièrement ces formules. Elles sont le langage de nombreux phénomènes naturels et techniques. N'hésitez pas à revoir les démonstrations et à faire de nombreux exercices pour consolider ces connaissances. Bon courage ! - Cours précèdent: [[Cours 1 - Trigonométrie]] - Prochain cours: [[Cours 3 - Trigonométrie]] - Page d'accueil de la compétence: [[Trigonométrie]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `04-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]