%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Trigonométrie|Accueil · Trigonométrie]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Cours 1 - Trigonométrie\|← Cours 1 - Trigonométrie]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Cours 3 - Trigonométrie\|Cours 3 - Trigonométrie →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Trigonométrie|Trigonométrie]] >[!tip] Tags > #Sin #Cos #Tan #CercleTrigonométrique #Conversiondesangles #Utilisationdelacalculatrice > [!note] Fil directeur > À la fin de ce chapitre, vous serez capable de : > - Définir et représenter les fonctions trigonométriques sur le cercle unitaire. > - Appliquer les relations fondamentales entre le sinus, le cosinus et la tangente. > - Effectuer des changements d'unités entre degrés et radians. > - Résoudre des équations trigonométriques simples. >[!example] Contenu de ce cours > - Définition du cercle trigonométrique > - Emplacement des points sur le cercle unitaire > - Conversion entre degrés et radians > - Utilisation de la calculatrice > - Résolution des équations trigonométriques # Le Cercle Trigonométrique Les définitions du sinus, du cosinus et de la tangente basées sur le triangle rectangle ne s'appliquent qu'aux angles aigus ($0^\circ < \theta < 90^\circ$). Pour étendre la trigonométrie à des angles quelconques (négatifs, supérieurs à $90^\circ$, etc.), on utilise le **cercle trigonométrique** (ou cercle unitaire). > [!definition] Cercle Trigonométrique > Le **cercle trigonométrique** est un cercle de rayon $R=1$ centré à l'origine $O(0,0)$ d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. > - L'axe des abscisses est l'axe des cosinus. > - L'axe des ordonnées est l'axe des sinus. > - Les angles sont mesurés en **radians**, en partant de l'axe positif des abscisses, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens positif). ## Définition des Fonctions Trigonométriques Pour tout angle réel $\theta$ (en radians), on associe un point $M$ sur le cercle trigonométrique. Si $M(x_M, y_M)$ sont les coordonnées de ce point : > [!definition] Sinus et Cosinus > - Le **cosinus** de l'angle $\theta$, noté $\cos(\theta)$, est l'abscisse du point $M$. > $ \cos(\theta) = x_M $ > - Le **sinus** de l'angle $\theta$, noté $\sin(\theta)$, est l'ordonnée du point $M$. > $ \sin(\theta) = y_M $ ![[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Ressources Trigonométrie/cercle.png||500]] > [!note] Bornes des fonctions > Puisque $M$ est sur le cercle de rayon 1, ses coordonnées $x_M$ et $y_M$ sont nécessairement comprises entre $-1$ et $1$. > > Pour tout angle $\alpha \in \mathbb{R}$ : > * $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$ > * $-1 \le \sin(\alpha) \le 1$ ## Angles remarquables sur le cercle unitaire ![[cercle complet.png||500]] >[!example] Exemple 1 : >Sur le cercle trigonométrique, le point associé à l'angle $\frac{\pi}{6}$ a pour coordonnées : $\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)$ > On en déduit : $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2} \quad \text{et}\quad \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12$ Donc : $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$ >[!example] Exemple 2 : >Le point associé à l'angle $-\frac{\pi}{4}$ a pour coordonnées : $(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$ On en déduit que $\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=-1$ Les signes de $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$ dépendent du quadrant où se trouve le point $M$ : | Quadrant | Intervalle d'angle | $\cos(\theta)$ (abscisse) | $\sin(\theta)$ (ordonnée) | $\tan(\theta)$ | | :------: | :----------------------: | :-----------------------: | :-----------------------: | :------------: | | I | $0 < \theta < \pi/2$ | $+$ | $+$ | $+$ | | II | $\pi/2 < \theta < \pi$ | $-$ | $+$ | $-$ | | III | $\pi < \theta < 3\pi/2$ | $-$ | $-$ | $+$ | | IV | $3\pi/2 < \theta < 2\pi$ | $+$ | $-$ | $-$ | > [!example] Calcul de $\sin(\alpha)$ connaissant $\cos(\alpha)$ > Supposons que $\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$ et que $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, 0]$. > > D'après la relation fondamentale : $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$. > $\sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. > Donc, $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ou $\sin(\alpha) = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. > > L'intervalle $[-\frac{\pi}{2}, 0]$ correspond au quatrième quadrant du cercle trigonométrique, où le sinus est négatif. > Par conséquent, $\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. ## Visualisation sur Geogebra Vous pouvez déplacer le point $A$ sur le cercle afin d'observer les différentes valeurs de l'angle ainsi que celles de son sinus et de son cosinus. <iframe src="https://www.geogebra.org/classic/e3tkhknu?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe> # Mesure des Angles : Degrés et Radians Historiquement, les angles sont mesurés en degrés. Cependant, en mathématiques avancées et en sciences de l'ingénieur, le **radian** est l'unité de mesure privilégiée car elle simplifie de nombreuses formules, notamment en calcul différentiel et intégral. ## Le Degré Le degré ($^\circ$) est une unité de mesure d'angle où un tour complet est divisé en $360$ parties égales. * Un tour complet : $360^\circ$ * Un demi-tour : $180^\circ$ * Un quart de tour (angle droit) : $90^\circ$ ## Le Radian > [!definition] Le Radian > Un **radian** (rad) est la mesure d'un angle au centre d'un cercle qui intercepte un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle. > > Sur le cercle trigonométrique (rayon $R=1$), un angle de $1$ radian intercepte un arc de longueur $1$. ## Relation entre Degrés et Radians La circonférence d'un cercle de rayon $R$ est $2\pi R$. Pour le cercle trigonométrique ($R=1$), la circonférence est $2\pi$. Ainsi, un tour complet correspond à $360^\circ$ et à $2\pi$ radians. $ 360^\circ = 2\pi \text{ rad} $ De cette équivalence fondamentale, nous pouvons déduire les relations de conversion : * Pour convertir des degrés en radians : $x \text{ (rad)} = x \text{ (deg)} \times \frac{\pi}{180}$ * Pour convertir des radians en degrés : $x \text{ (deg)} = x \text{ (rad)} \times \frac{180}{\pi}$ > [!example] Conversion d'angles > 1. Convertir $60^\circ$ en radians : > $60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ rad > 2. Convertir $\frac{3\pi}{4}$ rad en degrés : > $\frac{3\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = \frac{3 \times 180}{4} = 3 \times 45 = 135^\circ$ Voici un tableau des angles usuels, à connaître par cœur : | Degrés ($^\circ$) | Radians (rad) | | :---------------- | :------------ | | $0$ | $0$ | | $30$ | $\pi/6$ | | $45$ | $\pi/4$ | | $60$ | $\pi/3$ | | $90$ | $\pi/2$ | | $180$ | $\pi$ | | $270$ | $3\pi/2$ | | $360$ | $2\pi$ | ## Utilisation de la calculatrice ### Etape 1. Vérifier le mode de la calculatrice Avant tout calcul trigonométrique, il faut vérifier l'unité utilisée pour les angles. **Sur la calculatrice Casio fx-92+Collège** 1. Appuyer sur **Configuration (Setup)**. 2. Sélectionner **Paramètre calcul**. 3. Sélectionner **Unité d'angle**. 4. Choisir : **Degré** ou **Radian** selon le besoin. 5. Vérifier que l'indication **D** ou **R** apparaît en haut de l'écran. ### Etape 2. Calculer un sinus, un cosinus ou une tangente **A- En degrés** Lorsque l'angle est exprimé en degrés, la calculatrice doit être en mode **D**. >[!example] Exemple >Pour calculer le sinus de $30°$, vérifier que la calculatrice est en mode **D** puis taper $\sin(30)$ > Résultat : **$\sin(30)=0,5$** > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Ressources Trigonométrie/calculatrice 0.png||300]] **B- En radians** Lorsque l'angle est exprimé en radians, la calculatrice doit être en mode **R**. >[!example] Exemple >Pour calculer le cosinus de $\frac{\pi}{3}$, vérifier que la calculatrice est en mode **R** puis taper **$\cos(\pi\div 3)$** > Résultat : $\cos(\frac{\pi}{3})=0,5$ > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Ressources Trigonométrie/calculatrice.png||300]] ### Etape 3. Calculer un angle à partir de son sinus, cosinus ou tangente Pour trouver un angle étant donné son sinus, cosinus ou tangente, il suffit d'utiliser les fonctions **$\arcsin$** (ou $\sin^{-1}$), **$\arccos$** (ou $\cos^{-1}$) ou **$\arctan$** (ou $\tan^{-1}$). Pour obtenir un angle en degré, il faut que la calculatrice soit en mode **D**. De même, pour obtenir un angle en radian, on met la calculatrice en mode **R**. >[!example] Exemple >Pour calculer l'angle $\theta$ (en degré) tel que $\cos(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, vérifier que la calculatrice est en mode **D** puis calculer $\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})$ en tapant sur **SECONDE $\cos$**. > > Résultat : $\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})=30°$ > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Ressources Trigonométrie/cos-1.png||300]] # Périodicité Un angle $\alpha$ (en radians) est associé à un unique point $M$ sur le cercle trigonométrique. Ce point $M$ est obtenu en parcourant une longueur d'arc $\alpha$ (dans le sens direct si $\alpha > 0$, indirect si $\alpha < 0$) à partir du point $A(1,0)$. On dit que $\alpha$ est une **abscisse curviligne** du point $M$. Cependant, plusieurs valeurs d'angles peuvent correspondre au même point $M$ sur le cercle. > [!note] Ambiguïté de l'abscisse curviligne > Si un angle $\alpha$ correspond au point $M$, alors $\alpha + 2\pi$, $\alpha - 2\pi$, $\alpha + 4\pi$, etc., correspondent aussi au même point $M$. > > Plus généralement, si $\alpha$ est une abscisse curviligne de $M$, alors toute valeur de la forme $\alpha + 2k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$, est aussi une abscisse curviligne de $M$. Les fonctions trigonométriques sont des exemples fondamentaux de fonctions périodiques. > [!theorem] Périodicité de Cosinus et Sinus > Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$. > Pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ et pour tout $k \in \mathbb{Z}$ : > $ \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos(\alpha) $ > $ \sin(\alpha + 2k\pi) = \sin(\alpha) $ > Cela signifie que si vous ajoutez ou soustrayez un multiple entier de $2\pi$ à un angle, vous revenez au même point sur le cercle trigonométrique. > [!theorem] Périodicité de la Tangente > La fonction tangente est périodique de période $\pi$. > Pour tout $\alpha$ dans son domaine de définition et pour tout $k \in \mathbb{Z}$ : > $ \tan(\alpha + k\pi) = \tan(\alpha) $ > La cotangente a également une période de $\pi$. >[!example] >Les angles $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{7\pi}{3}$ sont associés au même point du cercle trigonométrique puisque >$\frac{7\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2\pi$ >Ajouter $2\pi$ revient à effectuer un tour complet du cercle. > >Par suite, $\cos(\frac{\pi}{3})=\cos(\frac{7\pi}{3})$ et $\sin(\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{7\pi}{3})$. # Résolution des équations trigonométriques Résoudre des équations de la forme : $\cos(x)=k,\qquad \sin(x)=k,\qquad \tan(x)=k$ à l'aide du cercle trigonométrique et des propriétés de périodicité des fonctions trigonométriques. >[!theorem] Théorème >Soient $x$ et $y$ deux nombres réels. >- $\cos(x)=\cos(y) \Leftrightarrow x=y+2k\pi \quad \text{ou} \quad x=-y+2k\pi \qquad (k\in\mathbb Z)$ >- $\sin(x)=\sin(y) \Leftrightarrow x=y+2k\pi \quad \text{ou} \quad x=\pi-y+2k\pi \qquad (k\in\mathbb Z)$ >- $\tan(x)=\tan(y) \Leftrightarrow x=y+k\pi \qquad (k\in\mathbb Z)$ > >Ces formules traduisent les symétries et la périodicité des fonctions trigonométriques. >[!example] Exemple Résoudre $\cos(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ sur $[0;2\pi]$ On reconnaît que : $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$ Donc, $\cos(x)=\cos(\frac{\pi}{4})$. D'après le théorème précédent, $x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad \text{ou} \quad x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi$ Seulement deux valeurs de $x$ appartiennent à $[0,2\pi]$ : $x=\frac{\pi}{4} \quad \text{et} \quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{7\pi}{4}$ L'ensemble des solutions est donc $S=\left\{\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right\}$. # ➡️ C'est la fin - Cours précèdent: [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Cours 1 - Trigonométrie|Cours 1 - Trigonométrie]] - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Cours 3 - Trigonométrie|Cours 3 - Trigonométrie]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Trigonométrie|Trigonométrie]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `06-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Trigonométrie|Accueil · Trigonométrie]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Cours 1 - Trigonométrie\|← Cours 1 - Trigonométrie]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Cours 3 - Trigonométrie\|Cours 3 - Trigonométrie →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%