# Du plus: Détails sur le Cercle Trigonométrique > Page d'accueil de la compétence: [[Trigonométrie]] >[!tip] Tags > #Sin #Cos #Tan #TriangleRectângle #CercleTrigonométrique #Repérage #Périodicité #Symétries > [!NOTE] Fil directeur > Ce que vous apprendrez ici vous servira de socle pour aborder l'étude des fonctions trigonométriques réelles, la résolution d'équations trigonométriques et de nombreuses applications en physique et en ingénierie. >[!example] Contenu de ce cours > - Rappels > - Cercle trigonométrique et repérage > - Symétrie entre angles > - Périodicité # Rappels Avant de plonger dans le vif du sujet, assurons-nous que quelques notions de base sont bien ancrées : * **[[Nombres réels]]** ($\mathbb{R}$) : L'ensemble des nombres avec lesquels nous travaillerons. * **Repère cartésien orthonormé** : Un système de coordonnées $(O; \vec{i}, \vec{j})$ dans le plan, où $O$ est l'origine, et $(\vec{i}, \vec{j})$ sont deux vecteurs unitaires orthogonaux. * **Distance entre deux points** : La formule de la distance, dérivée du théorème de Pythagore. Pour $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, la distance $AB$ est $\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$. * **[[Équations et Inéquations]]** : La capacité à manipuler et résoudre des expressions algébriques simples. # Mesure des Angles : Degrés et Radians Historiquement, les angles sont mesurés en degrés. Cependant, en mathématiques avancées et en sciences de l'ingénieur, le **radian** est l'unité de mesure privilégiée car elle simplifie de nombreuses formules, notamment en calcul différentiel et intégral. ## Le Degré Le degré ($^\circ$) est une unité de mesure d'angle où un tour complet est divisé en $360$ parties égales. * Un tour complet : $360^\circ$ * Un demi-tour : $180^\circ$ * Un quart de tour (angle droit) : $90^\circ$ ## Le Radian > [!definition] Le Radian > Un **radian** (rad) est la mesure d'un angle au centre d'un cercle qui intercepte un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle. > > Sur le cercle trigonométrique (rayon $R=1$), un angle de $1$ radian intercepte un arc de longueur $1$. ## Relation entre Degrés et Radians La circonférence d'un cercle de rayon $R$ est $2\pi R$. Pour le cercle trigonométrique ($R=1$), la circonférence est $2\pi$. Ainsi, un tour complet correspond à $360^\circ$ et à $2\pi$ radians. $ 360^\circ = 2\pi \text{ rad} $ De cette équivalence fondamentale, nous pouvons déduire les relations de conversion : * Pour convertir des degrés en radians : $x \text{ (rad)} = x \text{ (deg)} \times \frac{\pi}{180}$ * Pour convertir des radians en degrés : $x \text{ (deg)} = x \text{ (rad)} \times \frac{180}{\pi}$ > [!example] Conversion d'angles > 1. Convertir $60^\circ$ en radians : > $60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ rad > 2. Convertir $\frac{3\pi}{4}$ rad en degrés : > $\frac{3\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = \frac{3 \times 180}{4} = 3 \times 45 = 135^\circ$ Voici un tableau des angles usuels, à connaître par cœur : | Degrés ($^\circ$) | Radians (rad) | | :---------------- | :------------ | | $0$ | $0$ | | $30$ | $\pi/6$ | | $45$ | $\pi/4$ | | $60$ | $\pi/3$ | | $90$ | $\pi/2$ | | $180$ | $\pi$ | | $270$ | $3\pi/2$ | | $360$ | $2\pi$ | > [!tip] Penser en radians > En école d'ingénieurs et dans les cours de mathématiques avancées, **le radian est l'unité par défaut**. Si une unité n'est pas spécifiée, il s'agit de radians. Habituez-vous à penser les angles en termes de fractions de $\pi$. # Repérage d'un Point sur le Cercle Trigonométrique Un angle $\alpha$ (en radians) est associé à un unique point $M$ sur le cercle trigonométrique. Ce point $M$ est obtenu en parcourant une longueur d'arc $\alpha$ (dans le sens direct si $\alpha > 0$, indirect si $\alpha < 0$) à partir du point $A(1,0)$. ## Abscisse Curviligne On dit que $\alpha$ est une **abscisse curviligne** du point $M$. Cependant, plusieurs valeurs d'angles peuvent correspondre au même point $M$ sur le cercle. > [!note] Ambiguïté de l'abscisse curviligne > Si un angle $\alpha$ correspond au point $M$, alors $\alpha + 2\pi$, $\alpha - 2\pi$, $\alpha + 4\pi$, etc., correspondent aussi au même point $M$. > > Plus généralement, si $\alpha$ est une abscisse curviligne de $M$, alors toute valeur de la forme $\alpha + 2k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$, est aussi une abscisse curviligne de $M$. ## Cosinus et Sinus Les coordonnées du point $M$ associé à l'angle $\alpha$ sont définies comme le cosinus et le sinus de $\alpha$. > [!definition] Cosinus et Sinus d'un angle > Soit $M(x_M, y_M)$ le point du cercle trigonométrique associé à un angle $\alpha$. > > * L'**abscisse** de $M$ est appelée le **cosinus** de $\alpha$, noté $\cos(\alpha)$. > * L'**ordonnée** de $M$ est appelée le **sinus** de $\alpha$, noté $\sin(\alpha)$. > > Ainsi, $M(\cos(\alpha), \sin(\alpha))$. Géométriquement : * $\cos(\alpha)$ est la longueur de la projection orthogonale de $OM$ sur l'axe des abscisses. * $\sin(\alpha)$ est la longueur de la projection orthogonale de $OM$ sur l'axe des ordonnées. ## Relation Fondamentale de la Trigonométrie Puisque le point $M(\cos(\alpha), \sin(\alpha))$ appartient au cercle trigonométrique de rayon $1$ et de centre $O(0,0)$, la distance $OM$ est égale à $1$. En utilisant la formule de la distance : $OM^2 = (\cos(\alpha) - 0)^2 + (\sin(\alpha) - 0)^2 = \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)$. Comme $OM^2 = 1^2 = 1$, nous obtenons la relation fondamentale : > [!theorem] Relation Fondamentale de la Trigonométrie > Pour tout angle $\alpha \in \mathbb{R}$ : > $ \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 $ > Cette identité est cruciale et sera utilisée constamment. > [!note] Bornes des fonctions > Puisque $M$ est sur le cercle de rayon 1, ses coordonnées $x_M$ et $y_M$ sont nécessairement comprises entre $-1$ et $1$. > > Pour tout angle $\alpha \in \mathbb{R}$ : > * $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$ > * $-1 \le \sin(\alpha) \le 1$ > [!example] Calcul de $\sin(\alpha)$ connaissant $\cos(\alpha)$ > Supposons que $\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$ et que $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, 0]$. > > D'après la relation fondamentale : $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$. > $\sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. > Donc, $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ou $\sin(\alpha) = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. > > L'intervalle $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, 0]$ correspond au quatrième quadrant du cercle trigonométrique, où le sinus est négatif. > Par conséquent, $\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. # Valeurs Remarquables de Cosinus et Sinus Il est essentiel de connaître les valeurs de $\cos(\alpha)$ et $\sin(\alpha)$ pour les angles usuels. | $\alpha$ (rad) | $\alpha$ (deg) | $\cos(\alpha)$ | $\sin(\alpha)$ | | :------------- | :------------- | :----------------- | :----------------- | | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ | | $\pi/6$ | $30$ | $\sqrt{3}/2$ | $1/2$ | | $\pi/4$ | $45$ | $\sqrt{2}/2$ | $\sqrt{2}/2$ | | $\pi/3$ | $60$ | $1/2$ | $\sqrt{3}/2$ | | $\pi/2$ | $90$ | $0$ | $1$ | | $\pi$ | $180$ | $-1$ | $0$ | | $3\pi/2$ | $270$ | $0$ | $-1$ | | $2\pi$ | $360$ | $1$ | $0$ | > [!tip] Comment retrouver ces valeurs > Vous pouvez les retrouver en utilisant : > * **Le cercle trigonométrique** : Pour $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$. > * **Un triangle équilatéral** de côté 2, divisé en deux : Pour $\pi/6$ et $\pi/3$. Les angles sont $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$. Les côtés sont $1, \sqrt{3}, 2$. > * **Un carré** de côté 1, divisé par sa diagonale : Pour $\pi/4$. Les angles sont $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$. Les côtés sont $1, 1, \sqrt{2}$. # Tangente et Cotangente En plus du cosinus et du sinus, d'autres fonctions trigonométriques sont définies. Les plus courantes sont la tangente et la cotangente. ## Tangente > [!definition] Tangente > Pour tout angle $\alpha$ tel que $\cos(\alpha) \neq 0$, la **tangente** de $\alpha$, notée $\tan(\alpha)$, est définie par : > $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $ > [!warning] Conditions d'existence de la tangente > La tangente n'est pas définie lorsque $\cos(\alpha) = 0$. Cela se produit pour $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$. > Ces valeurs correspondent aux points $(0,1)$ et $(0,-1)$ sur le cercle trigonométrique. Géométriquement, la tangente d'un angle $\alpha$ est l'ordonnée du point d'intersection de la droite $(OM)$ avec la droite verticale d'équation $x=1$ (la tangente au cercle au point $A(1,0)$). ## Cotangente > [!definition] Cotangente > Pour tout angle $\alpha$ tel que $\sin(\alpha) \neq 0$, la **cotangente** de $\alpha$, notée $\cot(\alpha)$, est définie par : > $ \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $ > > On a également $\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$ lorsque $\tan(\alpha)$ est définie et non nulle. > [!warning] Conditions d'existence de la cotangente > La cotangente n'est pas définie lorsque $\sin(\alpha) = 0$. Cela se produit pour $\alpha = k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$. > Ces valeurs correspondent aux points $(1,0)$ et $(-1,0)$ sur le cercle trigonométrique. # Périodicité des Fonctions Trigonométriques Les fonctions trigonométriques sont des exemples fondamentaux de fonctions périodiques. > [!definition] Fonction Périodique > Une fonction $f$ est dite **périodique** de période $T > 0$ si pour tout $x$ de son domaine de définition, $f(x+T) = f(x)$. La plus petite période positive est appelée la **période fondamentale**. > [!theorem] Périodicité de Cosinus et Sinus > Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$. > Pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ et pour tout $k \in \mathbb{Z}$ : > $ \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos(\alpha) $ > $ \sin(\alpha + 2k\pi) = \sin(\alpha) $ > Cela signifie que si vous ajoutez ou soustrayez un multiple entier de $2\pi$ à un angle, vous revenez au même point sur le cercle trigonométrique. > [!theorem] Périodicité de la Tangente > La fonction tangente est périodique de période $\pi$. > Pour tout $\alpha$ dans son domaine de définition et pour tout $k \in \mathbb{Z}$ : > $ \tan(\alpha + k\pi) = \tan(\alpha) $ > La cotangente a également une période de $\pi$. # Relations de Symétrie et Angles Associés Le cercle trigonométrique permet de visualiser facilement les relations entre les fonctions trigonométriques d'angles "associés" par symétrie. Ces relations sont très utiles pour simplifier des expressions ou résoudre des équations. Soit $M$ le point du cercle associé à l'angle $x$. ## Angles Opposés : $-x$ Le point $M'$ associé à $-x$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses. * $\cos(-x) = \cos(x)$ (le cosinus est une fonction paire) * $\sin(-x) = -\sin(x)$ (le sinus est une fonction impaire) * $\tan(-x) = -\tan(x)$ ## Angles Supplémentaires : $\pi - x$ Le point $M'$ associé à $\pi - x$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées. * $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$ * $\sin(\pi - x) = \sin(x)$ * $\tan(\pi - x) = -\tan(x)$ ## Angles Anti-supplémentaires : $\pi + x$ Le point $M'$ associé à $\pi + x$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'origine $O$. * $\cos(\pi + x) = -\cos(x)$ * $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$ * $\tan(\pi + x) = \tan(x)$ (car $\tan(x)$ est de période $\pi$) ## Angles Complémentaires : $\frac{\pi}{2} - x$ Le point $M'$ associé à $\frac{\pi}{2} - x$ est le symétrique de $M$ par rapport à la première bissectrice (droite $y=x$). * $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$ * $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$ * $\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot(x)$ ## 8.5 Angles $\frac{\pi}{2} + x$ * $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$ * $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x)$ * $\tan(\frac{\pi}{2} + x) = -\cot(x)$ > [!example] Utilisation des symétries > Calculer $\cos(\frac{2\pi}{3})$. > On sait que $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$. > Donc, $\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$. > > Calculer $\sin(-\frac{\pi}{4})$. > $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Voici un tableau récapitulatif de ces relations : | Angle | $\cos(\alpha')$ | $\sin(\alpha')$ | $\tan(\alpha')$ | | :--------------------- | :-------------- | :-------------- | :-------------- | | $-\alpha$ | $\cos(\alpha)$ | $-\sin(\alpha)$ | $-\tan(\alpha)$ | | $\pi-\alpha$ | $-\cos(\alpha)$ | $\sin(\alpha)$ | $-\tan(\alpha)$ | | $\pi+\alpha$ | $-\cos(\alpha)$ | $-\sin(\alpha)$ | $\tan(\alpha)$ | | $\frac{\pi}{2}-\alpha$ | $\sin(\alpha)$ | $\cos(\alpha)$ | $\cot(\alpha)$ | | $\frac{\pi}{2}+\alpha$ | $-\sin(\alpha)$ | $\cos(\alpha)$ | $-\cot(\alpha)$ | # ➡️ C'est la fin Ce chapitre a posé les bases géométriques de la trigonométrie. Les notions de cosinus, sinus et tangente d'un angle peuvent être étendues à des **fonctions réelles** $f(x) = \cos(x)$, $f(x) = \sin(x)$, $f(x) = \tan(x)$, où $x$ est une variable réelle représentant un angle en radians. Le cercle trigonométrique est bien plus qu'un simple cercle ; c'est une carte qui organise toutes les relations trigonométriques. Vous devriez maintenant maîtriser : * La définition et l'orientation du cercle trigonométrique. * La conversion entre degrés et radians, et l'importance des radians. * Les définitions du cosinus, du sinus et de la tangente comme coordonnées d'un point sur le cercle. * La relation fondamentale $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$. * Les valeurs remarquables des fonctions trigonométriques pour les angles usuels. * La périodicité des fonctions trigonométriques. * Les relations de symétrie entre les angles associés. Ces concepts sont les piliers de toute la trigonométrie et seront constamment sollicités dans votre parcours d'ingénieur. Prenez le temps de bien les assimiler, de dessiner le cercle et de manipuler ces relations. La pratique est la clé ! --- - Cours précèdent: [[Cours 2 - Trigonométrie]] - Prochain cours: [[Exercices - Trigonométrie]] - Page d'accueil de la compétence: [[Trigonométrie]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `04-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]