%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Trigonométrie|Accueil · Trigonométrie]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Cours 2 - Trigonométrie\|← Cours 2 - Trigonométrie]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Exercices - Trigonométrie\|Exercices - Trigonométrie →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # Relations trigonométriques fondamentales > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Trigonométrie|Trigonométrie]] > [!note] Fil directeur > À la fin de ce chapitre, vous serez capable de : > - Appliquer les relations fondamentales entre le sinus, le cosinus et la tangente. > - Utiliser les formules d'addition, de duplication et de linéarisation. > - Simplifier des expressions trigonométriques complexes. >[!example] Contenu de ce cours > - Formules d'addition > - Formules de duplication > - Formules de linéarisation > # Angles Associés Ces formules permettent de relier les fonctions trigonométriques d'un angle $x$ à celles d'angles comme $-x$, $\frac{\pi}{2}-x$, $\pi-x$, etc. Elles sont cruciales pour simplifier les expressions et résoudre des équations. > [!theorem] Formules des Angles Associés > Pour tout réel $x$ : > > 1. **Angles opposés** (symétrie par rapport à l'axe des abscisses) : > $ \cos(-x) = \cos(x) $ > $ \sin(-x) = -\sin(x) $ > $ \tan(-x) = -\tan(x) \quad (\text{si } x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi) $ > 2. **Angles supplémentaires** (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) : > $ \cos(\pi-x) = -\cos(x) $ > $ \sin(\pi-x) = \sin(x) $ > $ \tan(\pi-x) = -\tan(x) \quad (\text{si } x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi) $ > > 3. **Angles décalés de $\pi$** (symétrie par rapport à l'origine) : > $ \cos(\pi+x) = -\cos(x) $ > $ \sin(\pi+x) = -\sin(x) $ > $ \tan(\pi+x) = \tan(x) \quad (\text{si } x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi) $ > > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Ressources Trigonométrie/angles associés avec pi .png]] > > 4. **Angles complémentaires** (symétrie par rapport à la première bissectrice $y=x$) : > $ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin(x) $ > $ \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos(x) $ > $ \tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cot(x) \quad (\text{si } x \ne k\pi) $ > >5. **Angles $\frac{\pi}{2}+x$** : > $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$ > $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x)$ $\tan(\frac{\pi}{2} + x) = -\cot(x)$ ![[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Ressources Trigonométrie/angles associés avec pi sur 2.png]] Voici un tableau récapitulatif de ces relations : | Angle | $\cos(\alpha')$ | $\sin(\alpha')$ | $\tan(\alpha')$ | | :--------------------- | :-------------- | :-------------- | :-------------- | | $-\alpha$ | $\cos(\alpha)$ | $-\sin(\alpha)$ | $-\tan(\alpha)$ | | $\pi-\alpha$ | $-\cos(\alpha)$ | $\sin(\alpha)$ | $-\tan(\alpha)$ | | $\pi+\alpha$ | $-\cos(\alpha)$ | $-\sin(\alpha)$ | $\tan(\alpha)$ | | $\frac{\pi}{2}-\alpha$ | $\sin(\alpha)$ | $\cos(\alpha)$ | $\cot(\alpha)$ | | $\frac{\pi}{2}+\alpha$ | $-\sin(\alpha)$ | $\cos(\alpha)$ | $-\cot(\alpha)$ | > [!example] Application > - Calculer $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$. > On sait que $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$. > Donc, $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$. > Et $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. > - Calculer $\sin(-\frac{\pi}{4})$. > $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. # Formules d'Addition et de Soustraction Ces formules sont d'une importance capitale car elles permettent de calculer les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles. > [!theorem] Formules d'Addition et de Soustraction > Pour tous réels $a$ et $b$ : > > 1. **Cosinus de la somme/différence** : > $ \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) $ > $ \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) $ > > 2. **Sinus de la somme/différence** : > $ \sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) $ > $ \sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b) $ > > 3. **Tangente de la somme/différence** (si les dénominateurs sont non nuls) : > $ \tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} $ > $ \tan(a-b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)} $ > [!tip] Mémorisation > Pour le cosinus, "cos cos moins sin sin" pour l'addition, "cos cos plus sin sin" pour la soustraction. > Pour le sinus, "sin cos plus cos sin" pour l'addition, "sin cos moins cos sin" pour la soustraction. > Le signe de l'opérateur dans la formule du cosinus est *opposé* à celui de l'angle, tandis que pour le sinus, il est *identique*. > [!example] Calcul de $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$ > On sait que $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$. > En utilisant la formule $\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$ : > $ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $ > $ = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $ > $ = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} $ > # Formules de Duplication (Arc Double) Ces formules sont un cas particulier des formules d'addition où $a=b$. Elles sont très utilisées pour exprimer les fonctions trigonométriques de $2x$ en fonction de celles de $x$. > [!theorem] Formules de Duplication > Pour tout réel $x$ : > > 1. **Cosinus de l'arc double** : > $ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1=1 - 2\sin^2(x) $ > > 2. **Sinus de l'arc double** : > $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $ > > 3. **Tangente de l'arc double** (si les expressions sont définies) : > $ \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)} $ > [!example] Exemples : > - $\cos(\frac{2\pi}{3})=2\cos^2(\frac{\pi}{3})=2(\frac{1}{2})^2-1=2\times \frac{1}{4}-1=-\frac{1}{2}$ > - $\sin(\frac{2\pi}{3})=2\sin(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{3})=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ # Formules de Linéarisation (Arc Moitié) Ces formules sont dérivées des formules de duplication et sont particulièrement utiles pour simplifier des expressions contenant des puissances de sinus et cosinus, notamment en calcul intégral. Elles permettent d'exprimer $\cos^2(x)$ et $\sin^2(x)$ en fonction de $\cos(2x)$. > [!theorem] Formules de Linéarisation > Pour tout réel $x$ : > > 1. $ \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $ > 2. $ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $ > [!example] Démonstration de $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ > On part de la formule de duplication : $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$. > On isole $\cos^2(x)$ : > $ \cos(2x) + 1 = 2\cos^2(x) $ > $ \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $ > La démonstration pour $\sin^2(x)$ est similaire en partant de $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$. # Formules de Transformation Somme-Produit et Produit-Somme (Complémentaire) Ces formules sont utiles pour transformer des sommes ou différences de fonctions trigonométriques en produits, et inversement. Elles sont particulièrement pratiques pour la factorisation ou la simplification d'expressions, et pour la résolution d'équations. ## Formules Produit-Somme Elles découlent directement des formules d'addition et de soustraction. > [!theorem] Formules Produit-Somme > Pour tous réels $a$ et $b$ : > 1. $ \cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)] $ > 2. $ \sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)] $ > 3. $ \sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)] $ ## Formules Somme-Produit Elles sont obtenues en posant $p = a+b$ et $q = a-b$, d'où $a = \frac{p+q}{2}$ et $b = \frac{p-q}{2}$, puis en substituant dans les formules produit-somme. > [!theorem] Formules Somme-Produit > Pour tous réels $p$ et $q$ : > 1. $ \cos(p) + \cos(q) = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right) $ > 2. $ \cos(p) - \cos(q) = -2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right) $ > 3. $ \sin(p) + \sin(q) = 2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right) $ > 4. $ \sin(p) - \sin(q) = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right) $ # Applications et Exemples La maîtrise de ces formules passe par la pratique. > [!example] Simplification d'expression > Simplifier l'expression $A = \frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)}$. > On utilise les formules de duplication : $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ et $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$. > $ A = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{1 + (2\cos^2(x) - 1)} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\cos^2(x)} $ > En simplifiant par $2\cos(x)$ (en supposant $\cos(x) \ne 0$) : > $ A = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x) $ > [!example] Résolution d'équation trigonométrique > Résoudre l'équation $\cos(x) = \sin(x)$ pour $x \in [0, 2\pi[$. > On peut diviser par $\cos(x)$ (en supposant $\cos(x) \ne 0$) : > $ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 1 \implies \tan(x) = 1 $ > Les solutions de $\tan(x)=1$ sont $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. > Pour $x \in [0, 2\pi[$ : > - Si $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. > - Si $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. > Si $\cos(x)=0$, alors $x = \frac{\pi}{2}$ ou $x = \frac{3\pi}{2}$. Dans ces cas, $\sin(x) = \pm 1$, donc $\cos(x) \ne \sin(x)$. Les solutions trouvées sont donc valides. > Les solutions sont $x = \frac{\pi}{4}$ et $x = \frac{5\pi}{4}$. # ➡️ C'est la fin - Cours précèdent: [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Cours 2 - Trigonométrie|Cours 2 - Trigonométrie]] - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Exercices - Trigonométrie|Exercices - Trigonométrie]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Trigonométrie|Trigonométrie]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `06-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Trigonométrie|Accueil · Trigonométrie]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Cours 2 - Trigonométrie\|← Cours 2 - Trigonométrie]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Trigonométrie/Exercices - Trigonométrie\|Exercices - Trigonométrie →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%