# 🧠 Trigonométrie : Exercices > Page d'accueil de la compétence: [[Trigonométrie]] > [!note] Consignes > Essayez de résoudre chaque exercice par vous-même avant de cliquer sur la correction. La rédaction de la solution est aussi importante que le résultat final. Ces exercices visent à solidifier vos connaissances sur les bases de la trigonométrie, incluant la manipulation des angles, le cercle trigonométrique et les relations fondamentales. Ces compétences sont des pré-requis essentiels pour aborder des concepts plus avancés tels que les fonctions trigonométriques et leurs propriétés, qui seront au cœur de l'étude des fonctions réelles. > [!example] Historique des cours > - [[Cours 1 - Trigonométrie]] > - [[Cours 2 - Trigonométrie]] > - [[Cours 3 - Trigonométrie]] ## Exercice 1 : Conversions d'angles et mesures principales 1. Convertir les angles suivants des degrés aux radians : a. $30^\circ$ b. $135^\circ$ c. $270^\circ$ d. $450^\circ$ 2. Convertir les angles suivants des radians aux degrés : a. $\frac{\pi}{4}$ rad b. $\frac{5\pi}{6}$ rad c. $\frac{3\pi}{2}$ rad d. $-\frac{7\pi}{3}$ rad 3. Déterminer la mesure principale (dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$) des angles en radians suivants : a. $\frac{11\pi}{4}$ b. $-\frac{17\pi}{6}$ c. $7\pi$ d. $2023\pi$ ## Exercice 2 : Placement sur le cercle trigonométrique et signes Pour chacun des angles suivants, situer son point associé sur le cercle trigonométrique et déterminer le signe de son sinus, de son cosinus et de sa tangente : a. $\frac{2\pi}{3}$ b. $-\frac{\pi}{4}$ c. $\frac{7\pi}{6}$ d. $3\pi$ e. $\frac{5\pi}{2}$ ## Exercice 3 : Calcul de valeurs trigonométriques exactes Calculer les valeurs exactes de : a. $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ b. $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ c. $\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)$ d. $\cos\left(\frac{11\pi}{4}\right)$ e. $\sin\left(\frac{17\pi}{6}\right)$ ## Exercice 4 : Utilisation des relations fondamentales 1. Soit $x$ un réel tel que $\sin(x) = \frac{3}{5}$ et $x \in \left]\frac{\pi}{2}, \pi\right[$. Calculer $\cos(x)$ et $\tan(x)$. 2. Soit $y$ un réel tel que $\cos(y) = -\frac{1}{3}$ et $y \in \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$. Calculer $\sin(y)$ et $\tan(y)$. 3. Soit $z$ un réel tel que $\tan(z) = 2$ et $z \in \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$. Calculer $\sin(z)$ et $\cos(z)$. ## Exercice 5 : Simplification d'expressions trigonométriques Simplifier les expressions suivantes : a. $A = \sin(\pi - x) + \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \sin(x + \pi)$ b. $B = \cos^2(x) + \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ c. $C = \frac{1}{1 + \tan^2(x)}$ d. $D = \frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{\cos(x) - \sin(x)}$ (pour $\cos(x) \neq \sin(x)$) ## Exercice 6 : Résolution d'équations trigonométriques simples Résoudre les équations suivantes dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ : a. $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ b. $\sin(x) = -\frac{1}{2}$ c. $\tan(x) = 1$ d. $2\sin(x) - \sqrt{2} = 0$ e. $\cos^2(x) = \frac{1}{4}$ ## Exercice 7 : Problème appliqué - Longueur d'une corde Un cercle de rayon $R = 5$ cm est centré à l'origine $O$. On considère deux points $A$ et $B$ sur ce cercle. L'angle $\angle AOB$ (angle au centre) mesure $\frac{2\pi}{3}$ radians. 1. Calculer la longueur de la corde $AB$. 2. Calculer l'aire du triangle $AOB$. # 📝 Corrigés Détaillés ### Exercice 1 : Conversions d'angles et mesures principales > [!tip] Rappels de conversion > Pour convertir des degrés en radians, on utilise la relation : $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ rad. > Pour convertir des radians en degrés, on utilise la relation : $1 \text{ rad} = \frac{180}{\pi}$ degrés. 1. **Degrés en radians :** a. $30^\circ = 30 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$ rad b. $135^\circ = 135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3 \times 45}{4 \times 45} \pi = \frac{3\pi}{4}$ rad c. $270^\circ = 270 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3 \times 90}{2 \times 90} \pi = \frac{3\pi}{2}$ rad d. $450^\circ = 450 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5 \times 90}{2 \times 90} \pi = \frac{5\pi}{2}$ rad 2. **Radians en degrés :** a. $\frac{\pi}{4}$ rad $= \frac{\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = 45^\circ$ b. $\frac{5\pi}{6}$ rad $= \frac{5\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = 5 \times 30 = 150^\circ$ c. $\frac{3\pi}{2}$ rad $= \frac{3\pi}{2} \times \frac{180}{\pi} = 3 \times 90 = 270^\circ$ d. $-\frac{7\pi}{3}$ rad $= -\frac{7\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = -7 \times 60 = -420^\circ$ 3. **Mesure principale :** > [!definition] Mesure principale d'un angle > La mesure principale d'un angle $\theta$ est l'unique angle $\theta_p$ tel que $\theta_p \in ]-\pi, \pi]$ et $\theta = \theta_p + 2k\pi$ pour un certain entier $k$. a. $\frac{11\pi}{4}$ : On cherche $k$ tel que $-\pi < \frac{11\pi}{4} + 2k\pi \le \pi$. $-\pi < \frac{11\pi}{4} + 2k\pi \Rightarrow -1 < \frac{11}{4} + 2k \Rightarrow -1 - \frac{11}{4} < 2k \Rightarrow -\frac{15}{4} < 2k \Rightarrow -\frac{15}{8} < k \Rightarrow -1.875 < k$. $\frac{11\pi}{4} + 2k\pi \le \pi \Rightarrow \frac{11}{4} + 2k \le 1 \Rightarrow 2k \le 1 - \frac{11}{4} \Rightarrow 2k \le -\frac{7}{4} \Rightarrow k \le -\frac{7}{8} \Rightarrow k \le -0.875$. L'entier $k$ qui satisfait ces deux conditions est $k = -1$. La mesure principale est donc $\frac{11\pi}{4} + 2(-1)\pi = \frac{11\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. b. $-\frac{17\pi}{6}$ : On cherche $k$ tel que $-\pi < -\frac{17\pi}{6} + 2k\pi \le \pi$. $-\pi < -\frac{17\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow -1 < -\frac{17}{6} + 2k \Rightarrow -1 + \frac{17}{6} < 2k \Rightarrow \frac{11}{6} < 2k \Rightarrow \frac{11}{12} < k \Rightarrow 0.916 < k$. $-\frac{17\pi}{6} + 2k\pi \le \pi \Rightarrow -\frac{17}{6} + 2k \le 1 \Rightarrow 2k \le 1 + \frac{17}{6} \Rightarrow 2k \le \frac{23}{6} \Rightarrow k \le \frac{23}{12} \Rightarrow k \le 1.916$. L'entier $k$ qui satisfait ces deux conditions est $k = 1$. La mesure principale est donc $-\frac{17\pi}{6} + 2(1)\pi = -\frac{17\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$. c. $7\pi$ : $7\pi = \pi + 6\pi = \pi + 3 \times (2\pi)$. La mesure principale est $\pi$. (Car $\pi \in ]-\pi, \pi]$) d. $2023\pi$ : $2023\pi = (2022 + 1)\pi = \pi + 1011 \times (2\pi)$. La mesure principale est $\pi$. ## Exercice 2 : Placement sur le cercle trigonométrique et signes > [!note] Rappel sur les signes > Sur le cercle trigonométrique : > - $\cos(\theta)$ est l'abscisse du point associé à $\theta$. > - $\sin(\theta)$ est l'ordonnée du point associé à $\theta$. > - $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$. > > | Quadrant | Intervalle (mesure principale) | cos(θ) | sin(θ) | tan(θ) | > | :------- | :----------------------------- | :----- | :----- | :----- | > | I | $]0, \frac{\pi}{2}[$ | $+$ | $+$ | $+$ | > | II | $]\frac{\pi}{2}, \pi[$ | $-$ | $+$ | $-$ | > | III | $]-\pi, -\frac{\pi}{2}[$ ou $]\pi, \frac{3\pi}{2}[$ | $-$ | $-$ | $+$ | > | IV | $]-\frac{\pi}{2}, 0[$ ou $]\frac{3\pi}{2}, 2\pi[$ | $+$ | $-$ | $-$ | a. $\frac{2\pi}{3}$ : * C'est un angle du 2ème quadrant (entre $\frac{\pi}{2}$ et $\pi$). * $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) < 0$ * $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) > 0$ * $\tan\left(\frac{2\pi}{3}\right) < 0$ b. $-\frac{\pi}{4}$ : * C'est un angle du 4ème quadrant (entre $-\frac{\pi}{2}$ et $0$). * $\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) > 0$ * $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) < 0$ * $\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) < 0$ c. $\frac{7\pi}{6}$ : * La mesure principale est $\frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}$. C'est un angle du 3ème quadrant (entre $-\pi$ et $-\frac{\pi}{2}$). * $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) < 0$ * $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) < 0$ * $\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) > 0$ d. $3\pi$ : * La mesure principale est $\pi$. Ce point est sur l'axe des abscisses négatives. * $\cos(3\pi) = -1$ (négatif) * $\sin(3\pi) = 0$ (nul) * $\tan(3\pi) = 0$ (nul) e. $\frac{5\pi}{2}$ : * La mesure principale est $\frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi}{2}$. Ce point est sur l'axe des ordonnées positives. * $\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 0$ (nul) * $\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 1$ (positif) * $\tan\left(\frac{5\pi}{2}\right)$ est indéfinie (car $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$). ## Exercice 3 : Calcul de valeurs trigonométriques exactes > [!theorem] Relations de symétrie et périodicité > - $\cos(-x) = \cos(x)$ > - $\sin(-x) = -\sin(x)$ > - $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$ > - $\sin(\pi - x) = \sin(x)$ > - $\cos(\pi + x) = -\cos(x)$ > - $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$ > - $\cos(x + 2k\pi) = \cos(x)$ > - $\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)$ > - $\tan(x + k\pi) = \tan(x)$ a. $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ : $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$. $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. b. $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ : $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. c. $\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)$ : $\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$. $\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \tan\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$. d. $\cos\left(\frac{11\pi}{4}\right)$ : On cherche la mesure principale : $\frac{11\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4}$. $\cos\left(\frac{11\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. e. $\sin\left(\frac{17\pi}{6}\right)$ : On cherche la mesure principale : $\frac{17\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6}$. $\sin\left(\frac{17\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. ## Exercice 4 : Utilisation des relations fondamentales > [!theorem] Relations trigonométriques fondamentales > Pour tout réel $x$ : > 1. $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ > 2. $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ (pour $\cos(x) \neq 0$) > 3. $1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ (pour $\cos(x) \neq 0$) 1. $\sin(x) = \frac{3}{5}$ et $x \in \left]\frac{\pi}{2}, \pi\right[$ (2ème quadrant). * **Calcul de $\cos(x)$ :** On utilise $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. $\cos^2(x) + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1$ $\cos^2(x) + \frac{9}{25} = 1$ $\cos^2(x) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$ Donc $\cos(x) = \sqrt{\frac{16}{25}}$ ou $\cos(x) = -\sqrt{\frac{16}{25}}$. $\cos(x) = \frac{4}{5}$ ou $\cos(x) = -\frac{4}{5}$. Puisque $x \in \left]\frac{\pi}{2}, \pi\right[$, $\cos(x)$ doit être négatif. Donc $\cos(x) = -\frac{4}{5}$. * **Calcul de $\tan(x)$ :** $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$. 2. $\cos(y) = -\frac{1}{3}$ et $y \in \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$ (3ème quadrant). * **Calcul de $\sin(y)$ :** On utilise $\cos^2(y) + \sin^2(y) = 1$. $\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \sin^2(y) = 1$ $\frac{1}{9} + \sin^2(y) = 1$ $\sin^2(y) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ Donc $\sin(y) = \sqrt{\frac{8}{9}}$ ou $\sin(y) = -\sqrt{\frac{8}{9}}$. $\sin(y) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ ou $\sin(y) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Puisque $y \in \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$, $\sin(y)$ doit être négatif. Donc $\sin(y) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$. * **Calcul de $\tan(y)$ :** $\tan(y) = \frac{\sin(y)}{\cos(y)} = \frac{-2\sqrt{2}/3}{-1/3} = 2\sqrt{2}$. 3. $\tan(z) = 2$ et $z \in \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$ (3ème quadrant). * **Calcul de $\cos(z)$ :** On utilise $1 + \tan^2(z) = \frac{1}{\cos^2(z)}$. $1 + (2)^2 = \frac{1}{\cos^2(z)}$ $1 + 4 = \frac{1}{\cos^2(z)}$ $5 = \frac{1}{\cos^2(z)} \Rightarrow \cos^2(z) = \frac{1}{5}$. Donc $\cos(z) = \sqrt{\frac{1}{5}}$ ou $\cos(z) = -\sqrt{\frac{1}{5}}$. $\cos(z) = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ou $\cos(z) = -\frac{\sqrt{5}}{5}$. Puisque $z \in \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$, $\cos(z)$ doit être négatif. Donc $\cos(z) = -\frac{\sqrt{5}}{5}$. * **Calcul de $\sin(z)$ :** On utilise $\tan(z) = \frac{\sin(z)}{\cos(z)} \Rightarrow \sin(z) = \tan(z) \times \cos(z)$. $\sin(z) = 2 \times \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$. ## Exercice 5 : Simplification d'expressions trigonométriques > [!note] Relations utiles > - $\sin(\pi - x) = \sin(x)$ > - $\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$ > - $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$ > - $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ > - $1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ > - $\cos^2(x) - \sin^2(x) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))$ a. $A = \sin(\pi - x) + \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \sin(x + \pi)$ * $\sin(\pi - x) = \sin(x)$ * $\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)$ * $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$ Donc $A = \sin(x) + \sin(x) - \sin(x) = \sin(x)$. b. $B = \cos^2(x) + \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ * $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)$. Donc $\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin^2(x)$. $B = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. c. $C = \frac{1}{1 + \tan^2(x)}$ On utilise la relation $1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$. Donc $C = \frac{1}{1/\cos^2(x)} = \cos^2(x)$. d. $D = \frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{\cos(x) - \sin(x)}$ (pour $\cos(x) \neq \sin(x)$) On utilise l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. $\cos^2(x) - \sin^2(x) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))$. $D = \frac{(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))}{\cos(x) - \sin(x)}$. Puisque $\cos(x) \neq \sin(x)$, on peut simplifier par $(\cos(x) - \sin(x))$. $D = \cos(x) + \sin(x)$. ## Exercice 6 : Résolution d'équations trigonométriques simples > [!note] Solutions générales des équations trigonométriques > - $\cos(u) = \cos(v) \iff u = v + 2k\pi \text{ ou } u = -v + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ > - $\sin(u) = \sin(v) \iff u = v + 2k\pi \text{ ou } u = \pi - v + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ > - $\tan(u) = \tan(v) \iff u = v + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ a. $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ On sait que $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc $\cos(x) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$. Les solutions générales sont $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$. Dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ : * Pour $k=0$, $x = \frac{\pi}{6}$ et $x = -\frac{\pi}{6}$ (qui n'est pas dans l'intervalle). * Pour $k=1$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$ (hors intervalle) et $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Les solutions sont $x = \frac{\pi}{6}$ et $x = \frac{11\pi}{6}$. b. $\sin(x) = -\frac{1}{2}$ On sait que $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, donc $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$. Donc $\sin(x) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$. Les solutions générales sont $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi = \pi + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$. Dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ : * Pour $k=0$, $x = -\frac{\pi}{6}$ (hors intervalle) et $x = \frac{7\pi}{6}$. * Pour $k=1$, $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$ et $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi$ (hors intervalle). Les solutions sont $x = \frac{7\pi}{6}$ et $x = \frac{11\pi}{6}$. c. $\tan(x) = 1$ On sait que $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$. Donc $\tan(x) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$. Les solutions générales sont $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$. Dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ : * Pour $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. * Pour $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. * Pour $k=2$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi$ (hors intervalle). Les solutions sont $x = \frac{\pi}{4}$ et $x = \frac{5\pi}{4}$. d. $2\sin(x) - \sqrt{2} = 0$ $2\sin(x) = \sqrt{2}$ $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ On sait que $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\sin(x) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$. Les solutions générales sont $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$. Dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ : * Pour $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$ et $x = \frac{3\pi}{4}$. Les solutions sont $x = \frac{\pi}{4}$ et $x = \frac{3\pi}{4}$. e. $\cos^2(x) = \frac{1}{4}$ Cela implique $\cos(x) = \sqrt{\frac{1}{4}}$ ou $\cos(x) = -\sqrt{\frac{1}{4}}$. Donc $\cos(x) = \frac{1}{2}$ ou $\cos(x) = -\frac{1}{2}$. *Cas 1 :** $\cos(x) = \frac{1}{2}$ On sait que $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$. Dans $[0, 2\pi[$ : $x = \frac{\pi}{3}$ et $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. *Cas 2 :** $\cos(x) = -\frac{1}{2}$ On sait que $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$. $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. Dans $[0, 2\pi[$ : $x = \frac{2\pi}{3}$ et $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Les solutions sont $x = \frac{\pi}{3}$, $x = \frac{2\pi}{3}$, $x = \frac{4\pi}{3}$ et $x = \frac{5\pi}{3}$. ## Exercice 7 : Problème appliqué - Longueur d'une corde > [!tip] Géométrie et trigonométrie > Dans un triangle $OAB$ où $OA=OB=R$ (triangle isocèle), la hauteur issue de $O$ sur $AB$ est aussi la bissectrice de l'angle $\angle AOB$ et la médiatrice de $AB$. 1. **Calcul de la longueur de la corde $AB$ :** Considérons le triangle $AOB$. C'est un triangle isocèle avec $OA = OB = R = 5$ cm. L'angle $\angle AOB = \theta = \frac{2\pi}{3}$. Soit $H$ le milieu de la corde $AB$. Le triangle $OHA$ est un triangle rectangle en $H$. L'angle $\angle AOH = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$. Dans le triangle rectangle $OHA$ : $\sin(\angle AOH) = \frac{AH}{OA}$ $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{AH}{R}$ $AH = R \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ cm. La longueur de la corde $AB$ est $2 \times AH$. $AB = 2 \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ cm. 2. **Calcul de l'aire du triangle $AOB$ :** L'aire d'un triangle peut être calculée par la formule $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}$. Ici, la base est $AB = 5\sqrt{3}$ cm. La hauteur est $OH$. Dans le triangle rectangle $OHA$ : $\cos(\angle AOH) = \frac{OH}{OA}$ $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{OH}{R}$ $OH = R \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ cm. L'aire du triangle $AOB$ est $\mathcal{A} = \frac{1}{2} \times AB \times OH$. $\mathcal{A} = \frac{1}{2} \times (5\sqrt{3}) \times \left(\frac{5}{2}\right) = \frac{25\sqrt{3}}{4}$ cm$^2$. > [!note] Formule alternative pour l'aire d'un triangle > L'aire d'un triangle peut aussi être calculée par $\frac{1}{2}ab\sin(C)$, où $a$ et $b$ sont les longueurs de deux côtés et $C$ est l'angle entre ces deux côtés. > Ici, $a = OA = R$, $b = OB = R$, et l'angle entre eux est $\theta = \frac{2\pi}{3}$. > $\mathcal{A} = \frac{1}{2} R \times R \times \sin(\theta) = \frac{1}{2} R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$. > $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. > $\mathcal{A} = \frac{1}{2} (5^2) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 25 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$ cm$^2$. > Cette formule est plus directe et confirme le résultat précédent. # 🗓️Historique - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]] - Dernière MAJ: `04-Septembre-2025`