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Il ne s'agit pas de formules à appliquer sans vérifier leurs conditions d'utilisation. ### Moyenne et proportion d'un échantillon Pour un échantillon de taille $n$ constitué des observations $x_1,\dots,x_n$, la moyenne empirique est : $ \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i $ Pour une caractéristique binaire, la proportion observée est : $ \hat{p}=\frac{\text{nombre d'individus présentant la caractéristique}}{n} $ ### Variabilité d'échantillonnage Pour des observations indépendantes et de même distribution, ayant une variance finie $\sigma^2$, l'erreur standard de la moyenne vaut : $ \sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ Pour une proportion calculée à partir d'observations de Bernoulli indépendantes, de même probabilité $p$ : $ \sigma_{\hat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} $ Ces expressions de base ne s'appliquent pas telles quelles à tous les plans de sondage complexes : stratification, grappes ou tirage sans remise dans une petite population peuvent nécessiter des ajustements. ### Taille d'échantillon : aperçu Pour planifier l'estimation d'une proportion avec une marge d'erreur cible $e$ et un quantile normal $z_{1-\alpha/2}$, dans le cadre d'un tirage adapté aux hypothèses de la formule : $ n\geq\frac{z_{1-\alpha/2}^{\,2}\,p(1-p)}{e^2} $ Lorsque $p$ est inconnu, on peut prendre $p=0{,}5$ pour obtenir un dimensionnement conservateur. La formule, ses hypothèses et les corrections éventuelles seront étudiées au chapitre E. --- ## 🧪 Exercices introductifs corrigés Ces exercices donnent un premier aperçu des raisonnements approfondis dans les chapitres. ### Exercice 1 — Identifier et choisir une méthode **Énoncé** Une exploitation agricole possède **1 200 parcelles**, réparties en trois types de sols : - 600 parcelles sur sol limoneux ; - 360 parcelles sur sol argileux ; - 240 parcelles sur sol sableux. On souhaite mesurer la teneur en matière organique sur **120 parcelles**, en garantissant une présence proportionnelle de chaque type de sol. 1. Quelle méthode d'échantillonnage proposer ? 2. Combien de parcelles sélectionner dans chaque catégorie ? 3. Pourquoi est-il important de réaliser un tirage aléatoire **à l'intérieur** de chaque catégorie ? **Correction** 1. Un **échantillonnage stratifié proportionnel**, avec le type de sol comme variable de stratification. 2. Les effectifs sont : - Sol limoneux : $120\times 600/1200=60$ parcelles. - Sol argileux : $120\times 360/1200=36$ parcelles. - Sol sableux : $120\times 240/1200=24$ parcelles. 3. Le tirage aléatoire au sein de chaque strate évite de ne sélectionner, par exemple, que les parcelles les plus accessibles. Les proportions à elles seules ne suppriment pas les biais de sélection. ### Exercice 2 — Comprendre l'erreur standard **Énoncé** Dans un modèle simplifié, l'écart-type de la masse d'un fruit dans une population est $\sigma=12$ g. On prélève indépendamment **36 fruits** dans des conditions identiques. 1. Calculer l'erreur standard de la moyenne. 2. Que devient-elle si l'on prélève **144 fruits** ? 3. Faut-il conclure que la variabilité entre les fruits a diminué ? **Correction** 1. $\sigma_{\bar{X}}=12/\sqrt{36}=2$ g. 2. $\sigma_{\bar{X}}=12/\sqrt{144}=1$ g. 3. **Non.** L'écart-type individuel reste ici égal à 12 g. C'est la **variabilité de la moyenne d'échantillon** qui diminue. Multiplier $n$ par 4 divise l'erreur standard par 2. ### Exercice 3 — Dimensionner un sondage **Énoncé** On souhaite connaître la proportion d'étudiants qui utilisent quotidiennement le vélo. En l'absence d'information préalable sur cette proportion, on vise une **marge d'erreur de 5 points de pourcentage**, avec un **niveau de confiance de 95 %**, dans le cadre simplifié d'un échantillon aléatoire adapté à la formule et d'une population suffisamment grande. Déterminer l'effectif de référence à prévoir, en prenant $z=1{,}96$. **Correction** On utilise $p=0{,}5$, ce qui maximise $p(1-p)$ : $ n\geq \frac{1{,}96^2\times 0{,}5\times(1-0{,}5)}{0{,}05^2} =384{,}16 $ Il faut donc prévoir **au moins 385 réponses exploitables**, sous les hypothèses indiquées. Si certains étudiants ne répondent pas, le nombre de personnes initialement sollicitées doit être plus élevé. Une taille suffisante ne corrige pas, à elle seule, un biais de sélection ou de non-réponse. --- ## 🗓️ Historique - **Version enrichie :** `16 octobre 2026`. - **Responsable :** [[Jizhen CAI]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Statistique & Probabilités/Echantillonnage/Echantillonnage|Accueil · Echantillonnage]] > > | [[Analyse et Données/Statistique & Probabilités/Echantillonnage/06_Chapitre F – Biais d’échantillonnage et bonnes pratiques\|← Chapitre F – Biais d’échantillonnage et bonnes pratiques]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %%