%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Statistique & Probabilités/Géostatistique/Géostatistique|Accueil · Géostatistique]] %% nav-fin %% ![[img0.png|300]] >[!IMPORTANT] Disclaimer IA >Le Genially initial de ce cours a été rédigé par l'enseignante, avec la création d'images d'illustration par IA. >Le résumé du Genially ici présent a été généré par IA avec très peu d'altérations au texte manuscrit initial # 1. Introduction aux géostatistiques Les **géostatistiques** constituent un ensemble de méthodes statistiques permettant de **décrire, modéliser et prédire** une variable spatialisée (ex. sol, roche, eau, pollution, pluviométrie) à partir de mesures ponctuelles $Z(x,y)$. ![[img1.png|300]] **Démarche globale :** Visualiser les données $\longrightarrow$ Extraire les structures spatiales $\longrightarrow$ Prendre des décisions * **Positionnement :** Sous-ensemble de l'analyse de données spatio-temporelles, à l'intersection de la géoinformation (SIG), de la télédétection et de la géomorphométrie. * **Objectif de l'interpolation :** Passer de mesures ponctuelles à une représentation continue sur l'ensemble d'une zone d'étude. --- ## 1.1 Origine historique * **Danie G. Krige (Années 1950) :** Professeur à l'Université du Witwatersrand (Afrique du Sud). Travaux pionniers sur la variabilité de la teneur en minerai d'or dans les mines du Witwatersrand. * **Georges Matheron (Années 1960) :** Ingénieur français du Corps des Mines (BRGM, CEA). Il formalise et développe la théorie des variables régionalisées et crée le Centre de Géostatistique de l'École des Mines de Paris à Fontainebleau. --- ## 1.2 Analyse spatiale vs Analyse non spatiale Une analyse n'est pas « spatiale » simplement parce qu'une variable géographique est impliquée (ex. la relation entre la surface d'une île et le nombre d'espèces végétales repose sur la superficie, pas sur l'agencement spatial). ![[img3.png|200]] Une **analyse est spatiale** lorsqu'elle étudie l'**interaction spatiale** ou la configuration géographique : * Relation entre l'isolement d'une île (distance aux autres terres) et la biodiversité. * Association entre gisements minéraux (points) et linéaments géologiques (lignes). * Relation entre cas de leucémie infantile (points) et proximité des lignes haute tension (lignes). * Incidence d'une maladie (points) et type de sol ou bassin d'approvisionnement en eau (surfaces). ![[img4.png|400]] ![[img5.png|400]] --- ## 1.3 La Première Loi de la Géographie (Loi de Tobler, 1970) > [!info] Loi de Tobler > *"Tout est lié à tout le reste, mais les choses proches sont plus liées que les choses éloignées."* ![[img6.png|300]] * Fondement scientifique du concept d'**autocorrélation spatiale**. * Permet de se concentrer sur les effets locaux. * Offre un cadre de référence : si un phénomène s'écarte de la loi de Tobler, l'anomalie peut être quantifiée. * Première loi: spécialement applicable aux phénomènes naturels --- ## 1.4 Notions de Précision et d'Exactitude > [!important] Exactitude (Justesse) > Proximité entre la valeur moyenne mesurée et la valeur vraie. > [!important] Précision (Fidélité) > Reproductibilité des mesures (faible dispersion des points). ![[img7.png]] --- # 2. Analyse Exploratoire des Données Spatiales (ESDA) L'**ESDA** (*Exploratory Spatial Data Analysis*) est une étape préalable indispensable permettant de : 1. Identifier les erreurs de saisie et les valeurs aberrantes (*outliers*). 2. Découvrir la distribution des variables et tester l'hypothèse de normalité. 3. Révéler les tendances spatiales, les dépendances et la stationnarité. 4. Guider le choix du modèle d'interpolation. ![[img8.png|500]] ### Vue globale des outils d'ESDA étudiés : ![[img9.png]] ## 2.1 Outils univariés non spatiaux ### A. L'Histogramme * Représente la distribution des fréquences regroupées en classes. * **Formes typiques :** * *Symétrique / Unimodale :* centrée sur la moyenne. * *Asymétrique (skewed) :* étalée vers la droite ou la gauche. * *Bimodale :* présence de deux sous-populations distinctes. * **Nombre de classes :** Utilisation de la règle de Sturges ($k = 1 + \log_2(n)$) comme repère, à ajuster visuellement. ![[img11.png]] ### B. La Boîte à Moustaches (Box Plot) * Résume la distribution en **5 statistiques clés** : Minimum, $Q_1$ (25%), Médiane $Q_2$ (50%), $Q_3$ (75%), Maximum. * **Écart Interquartile (IQR) :** $IQR = Q_3 - Q_1$ (contient 50 % des données). * **Valeurs aberrantes :** Points situés au-delà de $Q_3 + 1,5 \times IQR$ ou en dessous de $Q_1 - 1,5 \times IQR$. ![[img12.png]] ### C. Mesures de Tendance Centrale et de Dispersion * **Tendance centrale :** * *Moyenne ($\bar{x}$) :* très sensible aux valeurs extrêmes. * *Médiane ($M$) :* robuste aux valeurs aberrantes (préférable en cas d'asymétrie forte, ex. pic de pollution où $\bar{x} > M$). * *Mode :* valeur la plus fréquente. * **Dispersion :** Écart-type ($s$), Écart interquartile ($IQR$, robuste), Étendue ($\text{Max} - \text{Min}$). ![[img13.png]] ### D. La Loi Normale (Gaussienne) et le QQ-Plot * **Règle empirique :** $68\%$ des données dans $[\mu \pm \sigma]$, $95\%$ dans $[\mu \pm 2\sigma]$, $99,7\%$ dans $[\mu \pm 3\sigma]$. * **Importance en géostatistique :** Bien que le krigeage ne nécessite pas strictement la normalité des données, celle-ci est nécessaire pour calculer des **intervalles de confiance** fiables sur les erreurs de prédiction. Une transformation (ex. logarithmique) est souvent appliquée si la distribution est asymétrique. * **Diagramme Quantile-Quantile (QQ-Plot) :** * Compare les quantiles observés aux quantiles théoriques d'une loi normale. * *Points alignés sur la diagonale* $\rightarrow$ Distribution normale. * *Déviations dans les queues* $\rightarrow$ Asymétrie (*skewness*) ou aplatissement (*kurtosis*). ## Loi normale : ![[img14.png]] ## Diagramme quantile-quantile (QQ plot) : ![[img15.png]] ## Observation des valeurs extrêmes : ![[img17.png]] --- ## 2.2 Outils bivariés non spatiaux * **Nuage de points (Scatterplot) :** Permet d'évaluer la direction (positive/négative), la force et la forme (linéaire/curviligne) de la relation entre deux variables. * **Covariance :** Mesure la variation conjointe de deux variables. * **Coefficient de corrélation linéaire ($\rho$ ou $r$) :** * Mesure standardisée sans unité, comprise entre $-1$ et $+1$. * $r \approx 1$ : forte relation linéaire positive ; $r \approx -1$ : forte relation linéaire négative ; $r \approx 0$ : absence de relation linéaire. * *Rappel :* **Corrélation n'implique pas causalité.** ## Exemples : covariance ![[img18.png]] ![[img19.png]] ## Exemple : corrélation linéaire ![[img20.png]] ![[img21.png]] ![[img22.png|400]] --- ## 2.3 Outils d'analyse spatiale (Univariés) ### A. Le Getis-Ord $Gi^*$ (Analyse des Points Chauds / Hot Spots) * Mesure la concentration spatiale des valeurs fortes (*Hot Spots*) ou faibles (*Cold Spots*). * Produit une carte de **significativité statistique** (z-score / p-value avec niveaux de confiance à 90 %, 95 %, 99 %) et non une carte de valeurs brutes. * Indique où l'environnement local est systématiquement plus élevé/faible que la moyenne régionale. * **Application :** Aide à cibler les zones où densifier l'échantillonnage terrain. ### B. L'Indice de Moran ($Moran's\ I$) — Autocorrélation Spatiale Globale Mesure le degré de dépendance spatiale globale à l'échelle d'une région. * **Formule :** $I = \frac{N}{\sum_{i} \sum_{j} w_{ij}} \frac{\sum_{i} \sum_{j} w_{ij}(x_i - \bar{x})(x_j - \bar{x})}{\sum_{i} (x_i - \bar{x})^2}$ * $w_{ij}$ : Poids spatial entre le site $i$ et le site $j$ (défini par la matrice de pondération $W$). * $(x_i - \bar{x})(x_j - \bar{x})$ : Produit des écarts à la moyenne (positif si $i$ et $j$ sont tous deux au-dessus ou en dessous de la moyenne). ![[img23.png]] * **Interprétation de l'Indice de Moran ($I$) :** * $I > 0$ : **Autocorrélation positive** (regroupement / *clustered*). Les valeurs similaires se voisinent. * $I \approx 0$ : **Absence d'autocorrélation** (distribution aléatoire / *random*). * $I < 0$ : **Autocorrélation négative** (dispersion / motif en damier). ![[img24.png]] ![[img25.png]] ![[img26.png]] * **Exemple d'application pratique (Analyse des résidus de régression) :** Lors d'une modélisation de la pluviométrie par régression multiple (ex. altitude, latitude, distance à la côte), si l'indice de Moran appliqué aux **erreurs de prédiction (résidus)** indique un comportement regroupé ($I > 0$), cela signifie qu'une variable explicative spatiale a été omise (ex. l'orientation des pentes est/ouest). --- # 3. Les Méthodes Déterministes d'Interpolation ## 3.1 Déterministe vs Stochastique (Probabiliste) | Caractéristique | Méthodes Déterministes | Méthodes Stochastiques (ex. Krigeage) | | :------------------------ | :----------------------------------------------------------------------------- | :---------------------------------------------------------------------- | | **Principe** | Régi par des fonctions mathématiques directes ajustant une surface aux points. | Considère les données comme la réalisation d'un processus stochastique. | | **Exactitude aux points** | Méthodes exactes (conservent la valeur mesurée au point d'échantillon). | Intègrent la possibilité d'un bruit/erreur de mesure (effet pépite). | | **Incertitude** | **Aucune estimation de l'erreur** (pas de variance de prédiction). | **Quantification des incertitudes** (variance de krigeage). | | **Structure spatiale** | Néglige la structure variographique (pas de portée ni d'effet pépite). | Modélise explicitement l'autocorrélation via le variogramme. | ![[img27.png]] --- ## 3.2 Principales méthodes déterministes * **IDW (*Inverse Distance Weighting* - Pondération par l'inverse de la distance) :** Attribue un poids plus fort aux points les plus proches. * **Avantages :**  - simplicité  - rapidité - estimation rapide - **Inconvénients :** - pas d'anisotropie - variance d'erreur élevée - effet "oeil de boeuf" * **Splines et RBF (*Radial Basis Function*) :** Ajuste une surface d'élasticité minimale passant par les points. * **Avantages :**  - cartes esthétiques - lissage - interpolation exacte - **Inconvénients :** - oscillations artificielles dans les zones vides * **TIN et Voisin Naturel (*Natural Neighbor*) :** Basé sur la triangulation de Delaunay et les diagrammes de Voronoi. * **Avantages :**  - respecte la densité locale - efficace sur les données irrégulières - **Inconvénients :** - pas d'extrapolation - artefacts ![[img28.png|300]] * **Trend (Surface de tendance) :** Ajuste un polynôme de régression globale sur l'ensemble de la zone. * **Avantages :**  - visualisation des grandes structures régionales - **Inconvénients :** - perte de la variabilité locale - sensible aux outliers ![[img29.png|300]] --- ## 3.3 Inconvénients majeurs des méthodes déterministes 1. **Pas d'estimation de l'incertitude :** Absence de variance d'estimation. 2. **Biais statistique :** Erreur globale souvent supérieure au krigeage (qui est le meilleur estimateur linéaire non biaisé — *BLUE*). 3. **Ignorance de la structure spatiale :** Pas de prise en compte de l'effet pépite, du palier ou de la portée. 4. **Isotropie forcée :** Ne gère pas naturellement les directions privilégiées (anisotropie). ![[img30.png|400]] --- ## 3.4 Paramètres clés de la méthode IDW Dans l'IDW, la valeur estimée $\hat{Z}(x_0)$ dépend de la formule de pondération avec une puissance $p$ : * **Pondération :** $w_i = \frac{1}{d_i^p}$ * **Rôle de la puissance $p$ :** * $p = 0$ : Tous les points ont le même poids (moyenne simple). * $p = 1$ : Décroissance linéaire inverse. * $p = 2$ : **Valeur par défaut standard.** Bon compromis entre influence locale et globale. * $p$ élevé (ex. $p = 30$) : Décroissance extrêmement rapide ; la valeur prédite dépend quasi-exclusivement du plus proche voisin (effet en « œil de bœuf » / *bull's eye effect*). * **Voisinage :** Défini par un nombre de voisins maximum ou un **rayon d'influence** (en mètres). --- ## 3.5 Bilan : Déterministe vs Stochastique $\text{Vitesse \& Simplicité (Déterministe)} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{Précision \& Incertitude (Stochastique)}$ * **Méthodes déterministes :** À privilégier pour des analyses exploratoires rapides, des représentations visuelles préliminaires ou des jeux de données très denses/pauvres en bruit. %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Statistique & Probabilités/Géostatistique/Géostatistique|Accueil · Géostatistique]] %% nav-fin %% --- 🗓️ Historique Dernière mise à jour : `08 septembre 2026` Rédigé par : [[Réjanne LE BIVIC]]