%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Statistique & Probabilités/Méthodes stochastiques/Méthodes stochastiques|Accueil · Méthodes stochastiques]] %% nav-fin %% > [!IMPORTANT] Disclaimer IA > Le Genially initial de ce cours a été rédigé par l'enseignante. > Le résumé du Genially ici présent a été généré avec l'aide d'une IA puis retravaillé et enrichi afin de fournir un support de cours complet. # 1. Introduction aux méthodes stochastiques Les méthodes déterministes d'interpolation (IDW, splines, voisin naturel, surfaces de tendance) permettent de produire une représentation continue d'un phénomène à partir de mesures ponctuelles. Elles sont largement utilisées car elles sont simples à mettre en œuvre, rapides à calculer et produisent des cartes souvent satisfaisantes d'un point de vue visuel. Cependant, elles présentent une limite fondamentale : > Elles fournissent une estimation unique sans indication de la fiabilité de cette estimation. Or, dans les sciences de la Terre, de l'environnement ou de la géomatique, les données observées ne représentent qu'un échantillon partiel de la réalité. --- ## 1.1 Pourquoi dépasser les méthodes déterministes ? Dans la pratique : - les données sont souvent peu nombreuses ; - les échantillons sont répartis de manière irrégulière ; - certaines zones sont très peu observées ; - les mesures comportent des erreurs instrumentales ; - les phénomènes naturels présentent une variabilité intrinsèque. Une interpolation déterministe suppose implicitement que les observations disponibles suffisent à reconstruire exactement la réalité, or cette hypothèse est rarement vérifiée. ### Exemple Considérons une campagne d'échantillonnage de pollution des sols : - 50 prélèvements sont réalisés ; - la zone d'étude couvre plusieurs kilomètres carrés ; - entre deux points mesurés, le comportement réel du phénomène est inconnu. Une méthode déterministe attribue une valeur à chaque position mais ne permet pas de savoir si cette valeur est robuste ou non. --- ## 1.2 Principe des méthodes stochastiques Les méthodes stochastiques considèrent les observations comme la réalisation d'un phénomène aléatoire spatialement structuré. L'information portée par la position géographique devient alors essentielle. L'idée centrale est directement liée à la loi de Tobler : > Les objets proches dans l'espace ont tendance à être plus similaires que les objets éloignés. Les méthodes stochastiques cherchent donc à modéliser cette dépendance spatiale afin d'améliorer les prédictions. --- ## 1.3 Les objectifs des méthodes stochastiques Les méthodes stochastiques permettent : - de caractériser l'autocorrélation spatiale ; - de modéliser la variabilité spatiale ; - d'interpoler des valeurs inconnues ; - d'évaluer la qualité des estimations ; - de quantifier l'incertitude. Le résultat de l'interpolation comprend alors : 1. une valeur estimée ; 2. une mesure de son erreur potentielle. Cette seconde information constitue l'un des intérêts majeurs du krigeage. --- ## 1.4 Notion de variable régionalisée Selon la théorie de Georges Matheron, une variable observée dans l'espace peut être considérée comme une : > Variable régionalisée. Une variable régionalisée possède : - une composante structurée ; - une composante aléatoire. Elle varie de manière continue dans l'espace mais selon des règles qui ne sont pas entièrement déterministes. Exemples : - teneur en argile ; - concentration en nitrates ; - altitude ; - humidité des sols ; - porosité d'une roche. --- # 2. Les variogrammes ## 2.1 Pourquoi calculer un variogramme ? Avant toute interpolation géostatistique, il est nécessaire de comprendre comment les données sont organisées dans l'espace. Deux questions essentielles se posent : - Les valeurs proches sont-elles semblables ? - Jusqu'à quelle distance cette ressemblance subsiste-t-elle ? Le variogramme répond précisément à ces questions. Il constitue l'outil fondamental de la géostatistique. --- ## 2.2 Principe du variogramme Le variogramme mesure la différence moyenne entre les valeurs observées en fonction de la distance qui les sépare. Il repose sur la notion de semivariance. Pour une distance h : \[ \gamma(h)=\frac12 [Z(x)-Z(x+h)]^2 \] où : - Z(x) représente la valeur observée en un point ; - Z(x+h) représente la valeur observée à une distance h. --- ### Interprétation Si deux points sont proches : - les valeurs sont généralement similaires ; - la semivariance est faible. Si deux points sont éloignés : - les différences augmentent ; - la semivariance devient plus importante. Plus la semivariance augmente rapidement, plus la continuité spatiale est faible. --- ## 2.3 Le variogramme expérimental Le variogramme expérimental est construit à partir de toutes les paires de points disponibles. Pour différentes distances : 1. on regroupe les couples de points ; 2. on calcule leur semivariance moyenne ; 3. on reporte ces valeurs sur un graphique. Le graphique obtenu représente : - la distance en abscisse ; - la semivariance en ordonnée. --- ## 2.4 Les trois paramètres fondamentaux ### A. L'effet de pépite (Nugget) L'effet de pépite correspond à une discontinuité à l'origine du variogramme. En théorie : - deux points confondus devraient avoir exactement la même valeur. Dans la pratique : - les mesures comportent du bruit ; - certaines variations existent à une échelle inférieure à celle de l'échantillonnage. L'effet de pépite représente donc : - les erreurs de mesure ; - la micro-variabilité spatiale. --- ### B. Le palier (Sill) Le palier correspond à la valeur maximale atteinte par la courbe. Au-delà du palier : - la semivariance cesse d'augmenter ; - les observations deviennent statistiquement indépendantes. Le palier correspond généralement à la variance totale du phénomène. --- ### C. La portée (Range) La portée correspond à la distance à laquelle le palier est atteint. À l'intérieur de cette distance : - les observations demeurent corrélées. Au-delà : - l'autocorrélation disparaît. La portée est souvent interprétée comme une distance d'influence spatiale. --- ## 2.5 Ajustement d'un modèle théorique Le variogramme expérimental étant irrégulier, il doit être remplacé par un modèle mathématique continu. Les modèles les plus utilisés sont : ### Modèle sphérique - très fréquent en géologie ; - portée nettement définie. ### Modèle exponentiel - décroissance progressive ; - portée théorique infinie. ### Modèle gaussien - très lisse ; - adapté aux phénomènes continus. Le choix du modèle influence directement les résultats du krigeage. --- ## 2.6 Covariance et variogramme Le covariogramme et le variogramme décrivent tous deux les relations spatiales. La covariance mesure : > la similitude entre deux observations séparées par une distance donnée. Le variogramme mesure : > leur différence moyenne. Les deux approches sont mathématiquement liées. En géostatistique moderne, le variogramme est généralement privilégié. --- ## 2.7 Anisotropie Jusqu'à présent, on suppose que la dépendance spatiale est identique dans toutes les directions. Cette situation est appelée : > isotropie. Cependant, de nombreux phénomènes naturels présentent une organisation directionnelle. Exemples : - couches géologiques ; - fractures ; - cours d'eau ; - vallées ; - écoulements souterrains. On parle alors d'anisotropie. Dans ce cas : - la continuité spatiale varie selon l'orientation ; - plusieurs variogrammes directionnels sont calculés. --- # 3. Le krigeage ## 3.1 Définition Le krigeage est la principale méthode d'interpolation stochastique. Son nom provient des travaux de Danie Krige, ingénieur des mines sud-africain. Le krigeage utilise : - les valeurs observées ; - leur localisation spatiale ; - la structure du variogramme. Il fournit : - une prédiction ; - une variance d'estimation. --- ## 3.2 Décomposition du phénomène Un phénomène spatial est généralement représenté par : \[ Z(x)=m(x)+\varepsilon(x) \] avec : - m(x) : composante déterministe ; - ε(x) : composante aléatoire. Cette formulation permet de séparer : - une tendance générale ; - des fluctuations locales. --- ## 3.3 Principe mathématique Le krigeage estime une valeur inconnue sous la forme : \[ \hat Z(x)=\sum \lambda_i Z(x_i) \] où : - λi sont les poids ; - Z(xi) sont les observations. Contrairement à l'IDW : - les poids ne dépendent pas uniquement des distances ; - ils dépendent également du variogramme. Ainsi, l'organisation spatiale réelle des données est prise en compte. --- ## 3.4 Pourquoi le krigeage est-il souvent meilleur ? Le krigeage utilise davantage d'information que les méthodes déterministes. Il tient compte : - des distances ; - de la continuité spatiale ; - du bruit de mesure ; - de l'organisation géographique des échantillons. Son objectif est de minimiser l'erreur d'estimation. --- ## 3.5 Le concept BLUE Le krigeage est qualifié de : > Best Linear Unbiased Estimator ### Best Variance minimale parmi les estimateurs linéaires. ### Linear Combinaison linéaire des observations. ### Unbiased Erreur moyenne nulle. ### Estimator Méthode permettant de prédire une valeur inconnue. --- ## 3.6 Les principaux types de krigeage ### Krigeage simple Hypothèse : - moyenne connue. Rare en pratique. --- ### Krigeage ordinaire Le plus utilisé. Hypothèse : - moyenne inconnue ; - moyenne constante localement. --- ### Krigeage universel Utilisé lorsqu'une tendance spatiale existe. Exemples : - gradient altitudinal ; - gradient climatique ; - pollution atmosphérique. --- ### Co-krigeage Utilise une variable auxiliaire corrélée. Exemples : - pluie et altitude ; - teneur en argile et humidité. --- ### Krigeage avec erreur de mesure Permet de prendre en compte l'incertitude des observations elles-mêmes. --- ## 3.7 Limites du krigeage Le krigeage n'est pas parfait. ### Effet de lissage Les valeurs extrêmes sont souvent atténuées. Ainsi : - les fortes valeurs sont sous-estimées ; - les faibles valeurs sont surestimées. --- ### Sensibilité au variogramme Un mauvais modèle variographique conduit à : - de mauvaises prédictions ; - des cartes d'incertitude erronées. --- ### Hypothèse de stationnarité La plupart des formes de krigeage supposent que : - les propriétés statistiques de la variable sont stables dans l'espace. Cette hypothèse doit être vérifiée avant l'interpolation. --- # 4. Validation du modèle ## 4.1 Pourquoi valider ? Toute interpolation doit être évaluée. Une belle carte n'est pas nécessairement une bonne carte. La validation permet de mesurer : - la qualité des prédictions ; - la cohérence du variogramme ; - la fiabilité des incertitudes calculées. --- ## 4.2 Validation croisée La méthode la plus utilisée est : > Leave One Out Cross Validation (LOOCV) Principe : 1. retirer un point ; 2. prédire sa valeur ; 3. comparer avec la mesure réelle ; 4. calculer l'erreur ; 5. répéter l'opération pour tous les points. --- ## 4.3 L'erreur moyenne \[ ME=\frac1n \sum e_i \] où : \[ e_i = valeur_{observée}-valeur_{estimée} \] Une bonne interpolation doit présenter : \[ ME \approx 0 \] --- ## 4.4 Le RMSE Root Mean Square Error : \[ RMSE=\sqrt{\frac{\sum e_i^2}{n}} \] Le RMSE mesure la précision globale. Plus sa valeur est faible : - meilleure est l'interpolation. --- ## 4.5 Le MSDR Mean Squared Deviated Ratio. Cet indicateur compare : - les erreurs observées ; - les erreurs théoriquement prévues. Valeur idéale : \[ MSDR \approx 1 \] Interprétation : - MSDR < 1 : variance surestimée ; - MSDR > 1 : variance sous-estimée. --- ## 4.6 Interprétation des erreurs Les indicateurs doivent toujours être interprétés dans l'unité de la variable étudiée. Par exemple : - RMSE = 0,05 m peut être excellent pour une étude topographique ; - RMSE = 0,05 mg/L peut être insuffisant pour une analyse environnementale. Le contexte métier reste indispensable pour juger de la qualité du modèle. --- # 5. Bilan des méthodes stochastiques Les méthodes stochastiques constituent une avancée majeure par rapport aux méthodes déterministes. Elles permettent : - d'intégrer l'autocorrélation spatiale ; - de modéliser la structure spatiale ; - d'interpoler de manière optimale ; - de quantifier explicitement les incertitudes. ### À retenir ✅ Le variogramme est l'outil fondamental de la géostatistique. ✅ L'effet de pépite représente les erreurs de mesure et la micro-variabilité. ✅ La portée définit la distance maximale d'influence spatiale. ✅ Le krigeage est un estimateur BLUE. ✅ Le krigeage fournit une estimation ET une variance d'estimation. ✅ Une validation croisée est toujours nécessaire. ✅ Une carte d'incertitude est souvent aussi importante que la carte des prédictions. %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Statistique & Probabilités/Méthodes stochastiques/Méthodes stochastiques|Accueil · Méthodes stochastiques]] %% nav-fin %%