# Exercices sur les fondamentaux
Pour faire ces exercices, vous devez avoir pris connaissance des bases de la logique présentées dans les deux pages de cours : [[01_Cours Logique Combinatoire]] et [[02_Approfondisssement Logique Combinatoire]] afin de savoir de quoi il s'agit.
Les exercices étant faits pour assimiler le cours, nous vous remettrons des liens utiles pour vous aider.
>[!tip] Solution et Correction
>Quand vous verrez ***"Voir la Solution"***, il s'agira du résultat final sans le détail du calcul.
>Cela vous permettra de contrôler votre calcul sans avoir d'indice.
>
>Quand vous verrez ***"Voir la correction"***, il s'agira d'afficher le détail du cheminement.
>Cela vous permettra de contrôler vos différentes étapes de calcul/réflexion
>
## Exercice 1 : Donner une l'équation logique des tables de vérité suivantes
Pour réaliser cet exercice, il faut avoir compris ce chapitre : [[01_Cours Logique Combinatoire#Créer une table de vérité, en déduire l'expression logique]]
### Table de vérité n°1 :
| A | B | C | $S_1$ |
| :-: | :-: | :-: | :---: |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
>[!tip]- Voir la solution
> $S_1 = \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot C + \overline{A} \cdot B \cdot C + A \cdot \overline{B} \cdot \overline{C} + A \cdot \overline{B} \cdot C$
>>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>>Etape 1
>>>[!flou] Je recherche les lignes ou S1 = 1
>>>| A | B | C | $S_1$ |
| :-: | :-: | :-: | :---: |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| ***0*** | ***0*** | ***1*** | ***1*** |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| ***0*** | ***1*** | ***1*** | ***1*** |
| ***1*** | ***0*** | ***0*** | ***1*** |
| ***1*** | ***0*** | ***1*** | ***1*** |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
>>
>>Etape 2
>>>[!flou] Pour chaque ligne, j'écris le produit qui donne 1
>>>| A | B | C | $S_1$ | *produit* |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---------------------------------------: |
| 0 | 0 | 0 | 0 | |
| **0** | **0** | **1** | **1** | $\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot C$ |
| 0 | 1 | 0 | 0 | |
| **0** | **1** | **1** | **1** | $\overline{A} \cdot B \cdot C$ |
| **1** | **0** | **0** | **1** | $A \cdot \overline{B} \cdot \overline{C}$ |
| **1** | **0** | **1** | **1** | $A \cdot \overline{B} \cdot C$ |
| 1 | 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | |
>>> Je n'oublie pas d'inverser les variables qui sont à 0
>>
>>Etape 3
>>> [!flou] Je fais la somme logique des produits logiques obtenus
>>> $S_1 = \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot C + \overline{A} \cdot B \cdot C + A \cdot \overline{B} \cdot \overline{C} + A \cdot \overline{B} \cdot C$
### Table de vérité n°2 :
| A | B | C | D | $S_2$ |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :---: |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
>[!tip]- Voir la solution
> $S_2 = \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C} \cdot D + \overline{A} \cdot B \cdot \overline{C} \cdot \overline{D} + \overline{A} \cdot B \cdot C \cdot \overline{D} + A \cdot B \cdot \overline{C} \cdot \overline{D} + A \cdot B \cdot C \cdot \overline{D} + A \cdot B \cdot C \cdot D$
>
>>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>>
>>Etape 1
>>>[!flou] Je recherche les lignes où $S_2 = 1$
>>>| A | B | C | D | $S_2$ |
>>>| :-: | :-: | :-: | :-: | :---: |
>>>| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
>>>| ***0*** | ***0*** | ***0*** | ***1*** | ***1*** |
>>>| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
>>>| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
>>>| ***0*** | ***1*** | ***0*** | ***0*** | ***1*** |
>>>| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
>>>| ***0*** | ***1*** | ***1*** | ***0*** | ***1*** |
>>>| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
>>>| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
>>>| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
>>>| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
>>>| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
>>>| ***1*** | ***1*** | ***0*** | ***0*** | ***1*** |
>>>| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
>>>| ***1*** | ***1*** | ***1*** | ***0*** | ***1*** |
>>>| ***1*** | ***1*** | ***1*** | ***1*** | ***1*** |
>>
>>
>>Etape 2
>>>[!flou] Pour chaque ligne, j’écris le produit qui donne 1
>>>
>>>| A | B | C | D | $S_2$ | *produit* |
>>>| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :--------: |
>>>| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
>>>| **0** | **0** | **0** | **1** | **1** | $\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C} \cdot D$ |
>>>| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
>>>| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | |
>>>| **0** | **1** | **0** | **0** | **1** | $\overline{A} \cdot B \cdot \overline{C} \cdot \overline{D}$ |
>>>| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
>>>| **0** | **1** | **1** | **0** | **1** | $\overline{A} \cdot B \cdot C \cdot \overline{D}$ |
>>>| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | |
>>>| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
>>>| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
>>>| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
>>>| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | |
>>>| **1** | **1** | **0** | **0** | **1** | $A \cdot B \cdot \overline{C} \cdot \overline{D}$ |
>>>| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
>>>| **1** | **1** | **1** | **0** | **1** | $A \cdot B \cdot C \cdot \overline{D}$ |
>>>| **1** | **1** | **1** | **1** | **1** | $A \cdot B \cdot C \cdot D$ |
>>
>>Etape 3
>>>[!flou] Je fais la somme logique des produits logiques obtenus
>>> $S_2 = \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C} \cdot D + \overline{A} \cdot B \cdot \overline{C} \cdot \overline{D} + \overline{A} \cdot B \cdot C \cdot \overline{D} + A \cdot B \cdot \overline{C} \cdot \overline{D} + A \cdot B \cdot C \cdot \overline{D} + A \cdot B \cdot C \cdot D$
Pour les 2 prochains tableaux, vous n'aurez que la solution. Si vous n'avez pas compris la démarche, travaillez sur les 2 premiers tableaux.
### Table de vérité n°3 :
| X | Y | Z | $S_3$ |
| :-: | :-: | :-: | :---: |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
>[!tip]- Voir la solution
> $S_3 = \overline{X} \cdot \overline{Y} \cdot Z + X \cdot \overline{Y} \cdot \overline{Z} + X \cdot \overline{Y} \cdot Z + X \cdot Y \cdot Z$
### Table de vérité n°4 :
| J | K | L | M | $S_4$ |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :---: |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
>[!tip]- Voir la solution
> $S_4 = \overline{J} \cdot \overline{K} \cdot \overline{L} \cdot \overline{M} + \overline{J} \cdot \overline{K} \cdot \overline{L} \cdot M + \overline{J} \cdot K \cdot L \cdot \overline{M} + J \cdot \overline{K} \cdot \overline{L} \cdot \overline{M} + J \cdot K \cdot \overline{L} \cdot \overline{M}$
---
## Exercice 2 : Déterminer la table de vérité des équations suivantes
Pour réaliser cet exercice, il faut avoir compris [[02_Approfondisssement Logique Combinatoire#Déterminer la table de vérité d'une expression logique]] (vidéo + texte)
### Equation n°1 :
$S_1 = \overline{A} \cdot B + \overline{B} \cdot \overline{C}$
>[!tip]- Voir la Solution
>| A | B | C | $S_1$ |
>|:-:|:-:|:-:|:-----:|
>| 0 | 0 | 0 | 1 |
>| 0 | 0 | 1 | 0 |
>| 0 | 1 | 0 | 1 |
>| 0 | 1 | 1 | 1 |
>| 1 | 0 | 0 | 1 |
>| 1 | 0 | 1 | 0 |
>| 1 | 1 | 0 | 0 |
>| 1 | 1 | 1 | 0 |
>
>>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>>Etape 1
>>>[!flou] Je recherche les variables d'entrées
>>>Je trouve : A, B et C qui seront mes 3 premières colonnes
>>>3 variables d'entrée m'indique qu'il y aura $2^3$ combinaisons d'entrée soit 8 lignes
>>
>>Etape 2
>>>[!flou] Je décompose mon calcule
>>>1. il y a 3 inversions à calculer : $\overline{A}, \overline{B}, \overline{C}$. Cela sera mes 3 colonnes suivantes
>>>2. suivent les 2 produits logique : $\overline{A}.B$ puis $\overline{B}.\overline{C}$. Cela fait 2 colonne de plus
>>>3. Pour terminer il y aura la somme logique (S) qui me donnera la dernière colonne
>>
>>Etape 3
>>>[!flou] Cela me donne
>>>| A | B | C | $\overline{A}$ | $\overline{B}$ | $\overline{C}$ | $\overline{A} \cdot B$ | $\overline{B} \cdot \overline{C}$ | $S_1$ |
|:-:|:-:|:-:|:--------------:|:--------------:|:--------------:|:----------------------:|:-------------------------------:|:----:|
| 0 | 0 | 0 | | | | | | |
| 0 | 0 | 1 | | | | | | |
| 0 | 1 | 0 | | | | | | |
| 0 | 1 | 1 | | | | | | |
| 1 | 0 | 0 | | | | | | |
| 1 | 0 | 1 | | | | | | |
| 1 | 1 | 0 | | | | | | |
| 1 | 1 | 1 | | | | | | |
>>
>>Etape 4
>>>[!flou] une fois les calculs faits, on obtient
>>>| A | B | C | $\overline{A}$ | $\overline{B}$ | $\overline{C}$ | $\overline{A} \cdot B$ | $\overline{B} \cdot \overline{C}$ | $S_1$ |
|:-:|:-:|:-:|:--------------:|:--------------:|:--------------:|:----------------------:|:-------------------------------:|:----:|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
### Equation n°2 :
$S_2 = \overline{C} \cdot (\overline{B} + A)$
>[!tip]- Voir la Solution
>| A | B | C | $S_2$ |
>|:-:|:-:|:-:|:-----:|
>| 0 | 0 | 0 | 1 |
>| 0 | 0 | 1 | 0 |
>| 0 | 1 | 0 | 0 |
>| 0 | 1 | 1 | 0 |
>| 1 | 0 | 0 | 1 |
>| 1 | 0 | 1 | 0 |
>| 1 | 1 | 0 | 1 |
>| 1 | 1 | 1 | 0 |
>>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>>Etape 1
>>>[!flou] Je recherche les variables d'entrée
>>>Je trouve : A, B et C qui seront mes 3 premières colonnes
>>>3 variables d'entrée m'indiquent qu'il y aura $2^3$ combinaisons d'entrée, soit 8 lignes
>>
>>Etape 2
>>>[!flou] Je décompose mon calcul
>>>1. Il y a 2 inversions à calculer : $\overline{B}$ et $\overline{C}$. Ce seront mes 2 premières colonnes intermédiaires
>>>2. Ensuite, je calcule $\overline{B} + A$ (somme logique)
>>>3. La dernière colonne sera la sortie $S_2 = \overline{C} \cdot (\overline{B} + A)$
>>
>>Etape 3
>>>[!flou] Cela me donne
>>>| A | B | C | $\overline{B}$ | $\overline{C}$ | $\overline{B} + A$ | $S_2$ |
|:-:|:-:|:-:|:---------------:|:---------------:|:------------------:|:-----:|
| 0 | 0 | 0 | | | | |
| 0 | 0 | 1 | | | | |
| 0 | 1 | 0 | | | | |
| 0 | 1 | 1 | | | | |
| 1 | 0 | 0 | | | | |
| 1 | 0 | 1 | | | | |
| 1 | 1 | 0 | | | | |
| 1 | 1 | 1 | | | | |
>>
>>Etape 4
>>>[!flou] Une fois les calculs faits, on obtient
>>>| A | B | C | $\overline{B}$ | $\overline{C}$ | $\overline{B} + A$ | $S_2$ |
|:-:|:-:|:-:|:---------------:|:---------------:|:------------------:|:-----:|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
### Equation n°3 :
$S_3 = \overline{A} \cdot C + B \cdot D + A \cdot \overline{C}$
>[!tip]- Voir la Solution
>| A | B | C | D | $S_3$ |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:------:|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
>
>>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>>Etape 1
>>>[!flou] Je recherche les variables d'entrée
>>>Je trouve : A, B, C et D → ce seront mes 4 premières colonnes
>>>Il y a donc $2^4 = 16$ lignes dans la table de vérité
>>
>>Etape 2
>>>[!flou] Je décompose le calcul
>>>1. Inversions à calculer : $\overline{A}$ et $\overline{C}$
>>>2. Produits logiques à calculer : $\overline{A} \cdot C$, $B \cdot D$, $A \cdot \overline{C}$
>>>3. La sortie $S_3$ est la somme logique de ces 3 produits
>>
>>Etape 3
>>>[!flou] Cela me donne
>>>| A | B | C | D | $\overline{A}$ | $\overline{C}$ | $\overline{A} \cdot C$ | $B \cdot D$ | $A \cdot \overline{C}$ | $S_3$ |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:--------------:|:--------------:|:----------------------:|:----------:|:----------------------:|:-----:|
| 0 | 0 | 0 | 0 | | | | | | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | | | | | | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | | | | | | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | | | | | | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | | | | | | |
| 0 | 1 | 0 | 1 | | | | | | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | | | | | | |
| 0 | 1 | 1 | 1 | | | | | | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | | | | | | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | | | | | | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | | | | | | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | | | | | | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | | | | | | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | | | | | | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | | | | | | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | | | | | | |
>>>
>>
>>Etape 4
>>>[!flou] Une fois les calculs faits, on obtient
>>>| A | B | C | D | $\overline{A}$ | $\overline{C}$ | $\overline{A} \cdot C$ | $B \cdot D$ | $A \cdot \overline{C}$ | $S_3$ |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:--------------:|:--------------:|:----------------------:|:----------:|:----------------------:|:-----:|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Pour les 3 prochaines équations, vous n'aurez que la solution. Si vous n'avez pas compris la démarche, travaillez sur les 3 premières équations.
### Equation n°4 :
$S_4 = I \cdot \overline{J} + \overline{H} \cdot (I + J)$
>[!tip]- Voir la Solution
>| I | J | H | $S_4$ |
|:-:|:-:|:-:|:------:|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
### Equation n°5 :
$S_5 = \overline{E} \cdot F \cdot H + G \cdot H + \overline{F} \cdot \overline{G} \cdot \overline{H}$
>[!tip]- Voir la Solution
>| E | F | G | H | $S_5$ |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:------:|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
### Equation n°6 :
$S_6 = X \cdot (W \cdot \overline{Z} + Y \cdot W) + Z \cdot \overline{X} + Z \cdot (W + \overline{Y} \cdot X)$
>[!tip]- Voir la Solution
>| W | X | Y | Z | $S_6$ |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:------:|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
---
## Exercice 3 : Simplifier les équations suivantes à l'aide des lois de composition
Pour réaliser cet exercice, il faut avoir vu les lois de compositions [[01_Cours Logique Combinatoire#Les lois de composition]]
### Equation n°1 : Démonstration de la loi d'absorption
Démontrer que $A \cdot (A + B) = A$ ainsi que $A + A \cdot B = A$
>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>Etape 1
>>[!flou] utilisation de la loi de distributivité
>>$A \cdot (A + B) = A \cdot A + A \cdot B$
>
>Etape 2
>>[!flou] utilisation de la loi d'idempotence $A \cdot A = A$
>>$A \cdot (A + B) = A + A \cdot B$
>>Remarque : Nous tombons sur la deuxième expression. Aussi, en finissant cette démonstration, nous aurons démontré les deux égalités
>
>Etape 3
>>[!flou] utilisation de la loi de la distributivité (factorisation)
>>$A + A \cdot B = A \cdot (1 + B)$
>
>Etape 4
>>[!flou] utilisation de la loi de nullité $B + 1 = 1$
>>$A \cdot (1 + B) = A \cdot 1$
>
>Etape 5
>>[!flou] utilisation de la loi Identité $A \cdot 1 = A$
>>$A \cdot 1 = A$
>>Conclusion : $A \cdot (A + B) = A + A \cdot B = A$
>>
>
### Equation n°2 :
$S_2 = X \cdot Y + X \cdot \overline{Y}$
>[!tip]- Voir la Solution
>$S_2 = X$
>>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>>Etape 1
>>>[!flou] Distributivité
>>>$S_2 = X \cdot Y + X \cdot \overline{Y} = X \cdot (Y + \overline{Y})$
>>
>>Etape 2
>>>[!flou] Inversion
>>>$S_2 = X \cdot (Y + \overline{Y}) = X \cdot 1$
>>
>>Etape 3
>>>[!flou] identité
>>>$S_2 = X \cdot 1 = X$
>>>Conclusion :
>>>$S_2 = X$
>>
### Equation n°3 :
$S_3 = (X \cdot Y + Z \cdot V) \cdot (\overline{X} + \overline{Y})$
>[!tip]- Voir la Solution
>$S_3 = Z \cdot V \cdot (\overline{X} + \overline{Y})$
>>[!tip]- Pour voir UNE correction complète, c'est ici
>>La première solution serait de tout développer.
>> Nous vous laissons faire et retrouver la solution.
>>
>> Nous vous proposons une autre voie
>>
>>Etape 1
>>>[!flou] Repérer la loi de Morgan
>>>L'astuce est de repérer $\overline{X} + \overline{Y} = \overline{X \cdot Y}$
>>>
>>>Cela donne :
>>>$S_3 = (X \cdot Y + Z \cdot V) \cdot (\overline{X} + \overline{Y})$
>>>$S_3 = (X \cdot Y + Z \cdot V) \cdot (\overline{X \cdot Y})$
>>
>>Etape 2
>>>[!flou] Faire un changement de variable
>>>Pour nous aider, nous allons poser : $W = X \cdot Y$
>>>
>>>Cela donne :
>>>$S_3 = (X \cdot Y + Z \cdot V) \cdot (\overline{X \cdot Y})$
>>>$S_3 = (W + Z \cdot V) \cdot \overline{W}$
>>
>>Etape 3
>>>[!flou] Finir le calcul
>>>$S_3 = (W + Z \cdot V) \cdot \overline{W}$
>>>$S_3 = W \cdot \overline{W} + Z \cdot V \cdot \overline{W}$
>>>$S_3 = 0 + Z \cdot V \cdot \overline{W}$
>>>$S_3 = Z \cdot V \cdot \overline{W}$
>>>$S_3 = Z \cdot V \cdot (\overline{X \cdot Y})$
>>>$S_3 = Z \cdot V \cdot (\overline{X} + \overline{Y})$
Pour les 3 prochaines équations, vous n'aurez que la solution. Si vous n'avez pas compris la démarche, travaillez sur les 3 premières équations.
### Equation n°4 :
$S_4 = \overline{X} + X \cdot Y$
>[!tip]- Voir la Solution
>$S_4 = \overline{X} + Y$
### Equation n°5 :
$S_5 = (X + Y) \cdot (W + Z) \cdot \overline{X} \cdot \overline{Y}$
>[!tip]- Voir la Solution
>$S_5 = 0$
### Equation n°6 :
$S_6 = A \cdot B + C + A \cdot ( C + \overline{B} + A \cdot B)$
>[!tip]- Voir la Solution
>$S_6 = A + C$
---
## Exercice 4 : Trouver les équations simplifiées des tableaux de Karnaugh suivants
Pour cet exercice vous devez connaitre les règles du tableau de Karnaugh, en particulier celles permettant de trouver l'expression disjonctive minimale [[01_Cours Logique Combinatoire#Tableau de Karnaugh]]
### Tableau n°1 :
| $S_1$ | $A \cdot B$ | $A \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot B$ |
|:-------:|:-----------:|:----------------------:|:-------------------------------:|:----------------------:|
| $C$ | 0 | 1 | 1 | 0 |
| $\overline{C}$ | 0 | 0 | 1 | 1 |
>[!tip]- Voir la Solution
>$S_1 = \overline{B} \cdot C + \overline{A} \cdot \overline{C}$
>>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>>>[!flou] Détail de la solution
>>>Pas de regroupement de 8 Possible
>>>Pas de regroupement de 4 Possible
>>>Regroupement de 2 :
>>> ![[04_01.png]]
>>> Bleu : $\overline{B} \cdot C$
>>> Vert : $\overline{A} \cdot \overline{C}$
>>>
>>> ***Attention***. Si vous avez fait ***le regroupement ci-dessous (en rouge), il est inutile*** puisque chacun de ses 1 appartient déjà à un autre groupe.
>>>
>>> ![[04_01b.png]]
>>>
>>>Conclusion : $S_1 = \overline{B} \cdot C + \overline{A} \cdot \overline{C}$
### Tableau n°2 :
| $S_2$ | $A \cdot B$ | $A \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot B$ |
| :-------------------------------: | :---------: | :--------------------: | :-------------------------------: | :--------------------: |
| $C \cdot D$ | 0 | 1 | 1 | 1 |
| $C \cdot \overline{D}$ | 0 | 1 | 1 | 1 |
| $\overline{C} \cdot \overline{D}$ | 0 | 1 | 1 | 0 |
| $\overline{C} \cdot D$ | 0 | 1 | 1 | 0 |
>[!tip]- Voir la Solution
>$S_2 = \overline{B} + \overline{A} \cdot C$
>>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>>>[!flou] Détail de la solution
>>>Pas de regroupement de 16 Possible
>>>Regroupement de 8 Possible
>>>![[04_02.png]]
>>>Bleu : $\overline{B}$
>>>
>>>Regroupement de 4 Possible
>>>![[04_02b.png]]
>>>Vert : $\overline{A} \cdot C$
>>>
>>>***Attention, il ne fallait pas faire le regroupement de 2*** qui sautait aux yeux.
>>>![[04_02c.png]]
>>>
>>>Conclusion : $S_2 = \overline{B} + \overline{A} \cdot C$
### Tableau n°3 :
| $S_3$ | $A \cdot B$ | $A \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot B$ |
| :-------------------------------: | :---------: | :--------------------: | :-------------------------------: | :--------------------: |
| $C \cdot D$ | 1 | 0 | 0 | 1 |
| $C \cdot \overline{D}$ | 0 | 1 | 1 | 1 |
| $\overline{C} \cdot \overline{D}$ | 0 | 1 | 1 | 1 |
| $\overline{C} \cdot D$ | 1 | 0 | 0 | 1 |
>[!tip]- Voir la Solution
>$S_3 = \overline{A} \cdot B + \overline{B} \cdot \overline{D} + B \cdot D$
>>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>>>[!flou] Détail de la solution
>>>Pas de regroupement de 16 Possible
>>>Pas de regroupement de 8 Possible
>>>Regroupement de 4 Possible
>>>![[04_03.png]]
>>> Bleu : $\overline{B} \cdot \overline{D}$
>>> Vert : $\overline{A} \cdot B$
>>> Orange : $B \cdot D$
>>>
>>>Conclusion : $S_3 = \overline{A} \cdot B + \overline{B} \cdot \overline{D} + B \cdot D$
### Tableau n°4 :
| $S_4$ | $A \cdot B$ | $A \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot B$ |
| :-------------------------------: | :---------: | :--------------------: | :-------------------------------: | :--------------------: |
| $C \cdot D$ | 1 | 1 | 0 | 0 |
| $C \cdot \overline{D}$ | 0 | 1 | 0 | 0 |
| $\overline{C} \cdot \overline{D}$ | 1 | 1 | 0 | 0 |
| $\overline{C} \cdot D$ | 1 | 0 | 0 | 1 |
>[!tip]- Voir la Solution
>En fonction des regroupements que vous allez faire, vous pouvez trouver l'une des solutions suivantes (elles sont toutes valables !) :
>$S_4 = A \cdot C \cdot D + A \cdot \overline{B} \cdot C + A \cdot \overline{C} \cdot \overline{D} + B \cdot \overline{C} \cdot D$
>$S_4 = A \cdot C \cdot D + A \cdot \overline{B} \cdot \overline{D} + A \cdot \overline{C} \cdot \overline{D} + B \cdot \overline{C} \cdot D$
>$S_4 = A \cdot C \cdot D + A \cdot \overline{B} \cdot \overline{D} + A \cdot B \cdot \overline{C} + B \cdot \overline{C} \cdot D$
>>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>>>[!flou] Présentation des différentes solutions
>>>Solution n°1
>>>![[04_04.png]]
>>> Bleu : $A \cdot C \cdot D$
>>> Orange : $A \cdot \overline{B} \cdot C$
>>> Jaune : $A \cdot \overline{C} \cdot \overline{D}$
>>> Vert : $B \cdot \overline{C} \cdot D$
>>> Soit : $S_4 = A \cdot C \cdot D + A \cdot \overline{B} \cdot C + A \cdot \overline{C} \cdot \overline{D} + B \cdot \overline{C} \cdot D$
>>> Solution n°2
>>>![[04_04b.png]]
>>> Bleu : $A \cdot C \cdot D$
>>> Orange : $A \cdot \overline{B} \cdot \overline{D}$
>>> Jaune : $A \cdot \overline{C} \cdot \overline{D}$
>>> Vert : $B \cdot \overline{C} \cdot D$
>>> Soit : $S_4 = A \cdot C \cdot D + A \cdot \overline{B} \cdot \overline{D} + A \cdot \overline{C} \cdot \overline{D} + B \cdot \overline{C} \cdot D$
>>> Solution n°3
>>>![[04_04c.png]]
>>> Bleu : $A \cdot C \cdot D$
>>> Orange : $A \cdot \overline{B} \cdot \overline{D}$
>>> Jaune : $A \cdot B \cdot \overline{C}$
>>> Vert : $B \cdot \overline{C} \cdot D$
>>> Soit : $S_4 = A \cdot C \cdot D + A \cdot \overline{B} \cdot \overline{D} + A \cdot B \cdot \overline{C} + B \cdot \overline{C} \cdot D$
---
## Exercice 5 : Trouver les équations simplifiées des équations suivantes en utilisant les tableaux de Karnaugh
Pour cet exercice vous devez connaitre ***toutes*** les règles du tableau de Karnaugh ([[01_Cours Logique Combinatoire#Tableau de Karnaugh]]) ainsi que la méthode pour remplir en tableau de Karnaugh sans faire la table de vérité [[02_Approfondisssement Logique Combinatoire#Remplir le tableau de Karnaugh en partant de l'expression logique]]
### Equation n°1 :
$S_1 = \overline{A} \cdot B \cdot C + C \cdot \overline{B} \cdot \overline{A} + \overline{B} \cdot C \cdot A + \overline{C} \cdot \overline{A} \cdot B$
>[!tip]- Voir la Solution
>$S_1 = \overline{B} \cdot C + \overline{A} \cdot B$
>>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>>Etape 1
>>>[!flou] Remplir le tableau
>>>| $S_1$ | $A \cdot B$ | $A \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot B$ |
| :------------: | :---------: | :--------------------: | :-------------------------------: | :--------------------: |
| $C$ | 0 | 1 | 1 | 1 |
| $\overline{C}$ | 0 | 0 | 0 | 1 |
>>>
>>
>>Etape 2
>>>[!flou] Faire les regroupements
>>>![[05_01.png]]
>>>Bleu : $\overline{B} \cdot C$
>>>Vert : $\overline{A} \cdot B$
>>>Soit : $S_1 = \overline{B} \cdot C + \overline{A} \cdot B$
### Equation n°2 :
$S_2 = A \cdot \overline{B} \cdot C + \overline{D} + C \cdot D$
>[!tip]- Voir la Solution
>$S_2 = C + \overline{D}$
>>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>>Etape 1
>>>[!flou] Remplir le tableau
>>>| $S_2$ | $A \cdot B$ | $A \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot B$ |
| :-------------------------------: | :---------: | :--------------------: | :-------------------------------: | :--------------------: |
| $C \cdot D$ | 1 | 1 | 1 | 1 |
| $C \cdot \overline{D}$ | 1 | 1 | 1 | 1 |
| $\overline{C} \cdot \overline{D}$ | 1 | 1 | 1 | 1 |
| $\overline{C} \cdot D$ | 0 | 0 | 0 | 0 |
>>>
>>
>>Etape 2
>>>[!flou] Faire les regroupements
>>>![[05_02.png]]
>>>Bleu : $C$
>>>Vert : $\overline{D}$
>>>Soit :$S_2 = C + \overline{D}$
### Equation n°3 :
$S_3 = \overline{D} \cdot \overline{C} \cdot B \cdot A + \overline{D} \cdot C \cdot B \cdot \overline{A} + \overline{D} \cdot C \cdot B \cdot A + \overline{D} \cdot \overline{C} \cdot B \cdot \overline{A}$
| $S_3$ | $A \cdot B$ | $A \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot B$ |
| :-------------------------------: | :---------: | :--------------------: | :-------------------------------: | :--------------------: |
| $C \cdot D$ | 0 | 0 | 0 | 0 |
| $C \cdot \overline{D}$ | 1 | 0 | 0 | 1 |
| $\overline{C} \cdot \overline{D}$ | 1 | 0 | 0 | 1 |
| $\overline{C} \cdot D$ | 0 | 0 | 0 | 0 |
>[!tip]- Voir la Solution
>$S_3 = B \cdot \overline{D}$
>>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>>Etape 1
>>>[!flou] Remplir le tableau
>>>| $S_3$ | $A \cdot B$ | $A \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot B$ |
| :-------------------------------: | :---------: | :--------------------: | :-------------------------------: | :--------------------: |
| $C \cdot D$ | 0 | 0 | 0 | 0 |
| $C \cdot \overline{D}$ | 1 | 0 | 0 | 1 |
| $\overline{C} \cdot \overline{D}$ | 1 | 0 | 0 | 1 |
| $\overline{C} \cdot D$ | 0 | 0 | 0 | 0 |
>>>
>>
>>Etape 2
>>>[!flou] Faire les regroupements
>>>![[05_03.png]]
>>>Bleu : $B \cdot \overline{D}$
>>>Soit :$S_3 = B \cdot \overline{D}$
### Equation n°4 :
$S_4 = D \cdot C \cdot A + \overline{B} \cdot C \cdot \overline{A} + C \cdot A$
>[!tip]- Voir la Solution
>$S_4 = A \cdot C + \overline{B} \cdot C$
>>[!tip]- Pour voir la correction complète, c'est ici
>>Etape 1
>>>[!flou] Remplir le tableau
>>>| $S_4$ | $A \cdot B$ | $A \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot \overline{B}$ | $\overline{A} \cdot B$ |
| :-------------------------------: | :---------: | :--------------------: | :-------------------------------: | :--------------------: |
| $C \cdot D$ | 1 | 1 | 1 | 0 |
| $C \cdot \overline{D}$ | 1 | 1 | 1 | 0 |
| $\overline{C} \cdot \overline{D}$ | 0 | 0 | 0 | 0 |
| $\overline{C} \cdot D$ | 0 | 0 | 0 | 0 |
>>>
>>
>>Etape 2
>>>[!flou] Faire les regroupements
>>>![[05_04.png]]
>>>Bleu : $A \cdot C$
>>>Vert : $\overline{B} \cdot C$
>>>Soit :$S_4 = A \cdot C + \overline{B} \cdot C$
---