# Systèmes de Numération - Exercices et Corrigés ## Section 1 : Exercices Cette section contient 10 exercices de difficulté progressive, couvrant les bases des systèmes de numération et leur application au stockage des données. Prenez le temps de bien comprendre chaque question avant de vous lancer. > [!tip] Astuce pour la résolution > N'hésitez pas à utiliser des feuilles de brouillon pour vos calculs intermédiaires. La conversion entre bases, en particulier, peut être sujette à des erreurs d'inattention. #### Exercice 1 : Conversions Simples (Décimal vers Binaire et Hexadécimal) Convertissez le nombre décimal $173_{10}$ dans les bases suivantes : 1. Binaire (base 2) 2. Hexadécimal (base 16) #### Exercice 2 : Conversions Simples (Binaire et Hexadécimal vers Décimal) Convertissez les nombres suivants en base décimale (base 10) : 1. $110101_2$ 2. $3F_H$ Ces exercices demandent une légère combinaison de concepts ou une application un peu plus poussée. #### Exercice 3 : Conversions Multiples Convertissez le nombre décimal $205_{10}$ dans les bases suivantes : 1. Binaire (base 2) 2. Octal (base 8) 3. Hexadécimal (base 16) --- ## Section 2 : Corrigés Détaillés Cette section fournit les solutions complètes et expliquées pour chaque exercice. Utilisez-la pour vérifier votre travail et approfondir votre compréhension. ### Corrigé Exercice 1 : Conversions Simples (Décimal vers Binaire et Hexadécimal) #### Question 1 : $173_{10}$ en Binaire > [!definition] Méthode des divisions successives > Pour convertir un nombre décimal entier en une autre base $B$, on divise le nombre par $B$ de manière répétée. Les restes de ces divisions, lus de bas en haut, forment le nombre dans la nouvelle base. 1. **Division par 2 :** * $173 \div 2 = 86$ reste $1$ * $86 \div 2 = 43$ reste $0$ * $43 \div 2 = 21$ reste $1$ * $21 \div 2 = 10$ reste $1$ * $10 \div 2 = 5$ reste $0$ * $5 \div 2 = 2$ reste $1$ * $2 \div 2 = 1$ reste $0$ * $1 \div 2 = 0$ reste $1$ 2. **Lecture des restes :** En lisant les restes de bas en haut, on obtient : $10101101_2$. **Réponse :** $173_{10} = 10101101_2$ #### Question 2 : $173_{10}$ en Hexadécimal > [!definition] Rappel Hexadécimal > Les chiffres hexadécimaux sont $0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F$, où $A=10, B=11, ..., F=15$. 1. **Division par 16 :** * $173 \div 16 = 10$ reste $13$ * $10 \div 16 = 0$ reste $10$ 2. **Conversion des restes en hexadécimal :** * Le reste $13$ correspond à la lettre $D$. * Le reste $10$ correspond à la lettre $A$. 3. **Lecture des restes :** En lisant les restes de bas en haut, on obtient : $AD_H$. **Réponse :** $173_{10} = AD_H$ ### Corrigé Exercice 2 : Conversions Simples (Binaire et Hexadécimal vers Décimal) #### Question 1 : $110101_2$ en Décimal > [!definition] Méthode des poids > Pour convertir un nombre d'une base $B$ vers la base décimale, on multiplie chaque chiffre par $B$ élevé à la puissance de sa position (en commençant par 0 à partir de la droite). 1. **Identification des poids :** * $1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$ 2. **Calcul :** * $1 \times 32 + 1 \times 16 + 0 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1$ * $32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53$ **Réponse :** $110101_2 = 53_{10}$ #### Question 2 : $3F_H$ en Décimal 1. **Identification des poids et conversion hexadécimale :** * Le chiffre $F$ en hexadécimal correspond à $15$ en décimal. * Le chiffre $3$ en hexadécimal correspond à $3$ en décimal. * $3 \times 16^1 + F \times 16^0$ * $3 \times 16 + 15 \times 1$ 2. **Calcul :** * $48 + 15 = 63$ **Réponse :** $3F_H = 63_{10}$ ### Corrigé Exercice 3 : Conversions Multiples #### Question 1 : $205_{10}$ en Binaire 1. **Divisions successives par 2 :** * $205 \div 2 = 102$ reste $1$ * $102 \div 2 = 51$ reste $0$ * $51 \div 2 = 25$ reste $1$ * $25 \div 2 = 12$ reste $1$ * $12 \div 2 = 6$ reste $0$ * $6 \div 2 = 3$ reste $0$ * $3 \div 2 = 1$ reste $1$ * $1 \div 2 = 0$ reste $1$ 2. **Lecture des restes :** $11001101_2$ **Réponse :** $205_{10} = 11001101_2$ #### Question 2 : $205_{10}$ en Octal 1. **Divisions successives par 8 :** * $205 \div 8 = 25$ reste $5$ * $25 \div 8 = 3$ reste $1$ * $3 \div 8 = 0$ reste $3$ 2. **Lecture des restes :** $315_8$ **Réponse :** $205_{10} = 315_8$ #### Question 3 : $205_{10}$ en Hexadécimal 1. **Divisions successives par 16 :** * $205 \div 16 = 12$ reste $13$ * $12 \div 16 = 0$ reste $12$ 2. **Conversion des restes en hexadécimal :** * $13 \rightarrow D$ * $12 \rightarrow C$ 3. **Lecture des restes :** $CD_H$ **Réponse :** $205_{10} = CD_H$ > [!tip] Vérification rapide > On peut vérifier les conversions entre binaire, octal et hexadécimal en regroupant les bits : > * Binaire vers Octal : Regrouper par 3 bits (en partant de la droite). $11001101_2 \rightarrow 11 \ 001 \ 101_2 \rightarrow 3 \ 1 \ 5_8$. Correct. > * Binaire vers Hexadécimal : Regrouper par 4 bits (en partant de la droite). $11001101_2 \rightarrow 1100 \ 1101_2 \rightarrow C \ D_H$. Correct. ## 🗓️ Historique > **Dernière mise à jour :** `01 novembre 2025` > **Rédigé par :** [[Julien DUQUENNOY]]